Deux ondes voisines : la porteuse traverse l'enveloppe

La stratégie. Une identité trigonométrique sépare deux facteurs, chacun fonction de $z-vt$ pour sa propre vitesse $v$ ; on chiffre les deux vitesses, on les lit sur la courbe de dispersion, et l'eau, où l'on voit les vagues, ancre l'interprétation.

1) Enveloppe et porteuse. Avec $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a-b}{2}\cos \frac{a+b}{2}$, en notant ${\omega }_0=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$, $k_0=\frac{k_1+k_2}{2}$, $\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1$ et $\Delta k=k_2-k_1$ : $$s=\underset{\text{enveloppe}}{\underbrace{2s_0\cos (\frac{\Delta \omega }{2}t-\frac{\Delta k}{2}z)}}\underset{\text{porteuse}}{\underbrace{\cos ({\omega }_{0}t-k_{0}z)}}.$$ La porteuse est une fonction de $z-\frac{{\omega }_0}{k_0}t$ : ses crêtes avancent à $v_{\phi }={\omega }_0/k_0$. L'enveloppe est une fonction de $z-\frac{\Delta \omega }{\Delta k}t$ : elle avance à $\Delta \omega /\Delta k$. Numériquement, $k=\frac{2\pi }{c}\sqrt{f^2-f_p^2}$ donne $k_1\approx 0,16472\mathrm{rad}{\mathrm{m}}^{-1}$ et $k_2\approx 0,16789\mathrm{rad}{\mathrm{m}}^{-1}$, d'où $$\frac{\Delta \omega }{\Delta k}=\frac{2\pi \times 0,10\times 10^6}{3,168\times 10^{-3}}\approx 0,6614c,$$ alors que $v_g=c\sqrt{1-f_p^2/f_0^2}=c\sqrt{1-0,5625}\approx 0,6614c$ : l'accord est meilleur que $10^{-4}$. La porteuse avance à $v_{\phi }=c^2/v_g\approx 1,512c$.

2) Une crête traverse l'enveloppe. Les zéros de l'enveloppe sont espacés de $2\pi /\Delta k$, soit $$L=\frac{2\pi }{\Delta k}=\frac{v_g}{\Delta f}=\frac{0,6614\times 3,00\times 10^8}{1,0\times 10^5}\approx 1,98\mathrm{km}.$$ Une crête avance par rapport à l'enveloppe à la vitesse relative $v_{\phi }-v_g\approx 0,850c$ : elle traverse un lobe en $\frac{L}{v_{\phi }-v_g}\approx 7,8\mu \mathrm{s}$, soit $7,8\times 10^{-6}\times 12\times 10^6\approx 93$ périodes. Sur un film, on verrait les crêtes naître à l'arrière d'un lobe, grandir en le remontant, puis mourir à l'avant, pendant que le lobe avance, lui, moins vite. Ce qui se déplace avec le lobe, c'est l'endroit où l'amplitude est grande, donc l'énergie et le signal qu'on y code.

(Échelle dilatée : six longueurs d'onde par lobe au lieu d'une cinquantaine. Pointillés : centre du lobe ; point : une même crête. Pendant que le centre avance de $L/2$, la crête avance de $L/2\times v_{\phi }/v_g\approx 1,14L$ : elle est passée de l'arrière à l'avant du lobe.)

3) Trois pentes. Sur la courbe $\omega (k)$, $v_{\phi }={\omega }_0/k_0$ est la pente de la corde $OM$ qui joint l'origine au point de fonctionnement $M$ ; $\Delta \omega /\Delta k$ est la pente de la corde qui joint les deux points $(k_1,{\omega }_1)$ et $(k_2,{\omega }_2)$, situés de part et d'autre de $M$. Quand $\Delta \omega \to 0$, cette corde tend vers la tangente en $M$, de pente $v_g=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}k}$. Pour la courbe du plasma, convexe et au-dessus de son asymptote $\omega =ck$, la corde depuis l'origine est plus raide que l'asymptote ($v_{\phi }>c$), la tangente moins raide ($v_g<c$). Ici $\Delta f/f_0\approx 10^{-2}$, et l'écart entre $\Delta \omega /\Delta k$ et $v_g$, d'ordre $(\Delta f/f_0{)}^2$, est bien de l'ordre de $10^{-4}$ ou moins.

4) Sur l'eau. $v_{\phi }=\frac{\omega }{k}=\sqrt{\frac{g}{k}}$ et $v_g=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}k}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}=\frac{v_{\phi }}{2}$. Pour $T=8\mathrm{s}$ : $\omega =2\pi /T\approx 0,785\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $k={\omega }^2/g\approx 0,0629{\mathrm{m}}^{-1}$, d'où $$\lambda =\frac{2\pi }{k}\approx 100\mathrm{m},v_{\phi }\approx 12,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},v_g\approx 6,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Les crêtes vont deux fois plus vite que le groupe : chaque vague apparaît à l'arrière d'un train de houle, le remonte, et s'efface à l'avant. C'est aussi pourquoi la houle d'une tempête lointaine arrive à la vitesse $v_g$, et non à $v_{\phi }$ : on voit sur l'eau ce que fait la porteuse dans le plasma.

5) Pas de contradiction. $v_{\phi }$ est la vitesse d'un motif, la crête d'une sinusoïde infinie, qui ne transporte ni énergie ni information : une crête qui « naît » à l'arrière de l'enveloppe et « meurt » à l'avant n'emporte rien d'un point à un autre. L'énergie avance à $v_g$ (exercice 4) et l'information, codée dans l'enveloppe, aussi : $v_g<c$ dans le plasma. La relativité est respectée.

Ce que l'exercice installe. La vitesse de groupe se calcule par $v_g=\mathrm{d}\omega /\mathrm{d}k$ et s'interprète sur un exemple : c'est la vitesse de l'enveloppe d'un battement de deux ondes voisines, alors que les crêtes vont à $v_{\phi }$ et traversent l'enveloppe. Sur la courbe $\omega (k)$, $v_{\phi }$ est la pente de la corde issue de l'origine, $v_g$ celle de la tangente. Et l'exemple des vagues ($v_g=v_{\phi }/2$) rend visible ce que fait la porteuse.