Établir l'équation de diffusion et l'épaisseur de peau

Le rotationnel de Maxwell--Faraday donne $\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\overrightarrow{E})-\Delta \overrightarrow{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}\right)$. Or $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0$ (neutralité locale) et, sans courant de déplacement, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{ȷ}={\mu }_0\gamma \overrightarrow{E}$. Il reste

$$\Delta \overrightarrow{E}={\mu }_0\gamma \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}.$$

Comme $\overrightarrow{ȷ}=\gamma \overrightarrow{E}$ avec $\gamma$ constante, $\overrightarrow{ȷ}$ vérifie la même équation ; pour $\overrightarrow{B}$, on prend le rotationnel de Maxwell--Ampère, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B})=-\Delta \overrightarrow{B}={\mu }_0\gamma \overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-{\mu }_0\gamma \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$ (car $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$). La substitution donne $-{\underline{k}}^2={\mu }_0\gamma \mathrm{j}\omega$, soit ${\underline{k}}^2={\mu }_0\gamma \omega {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\pi /2}$. La racine de partie imaginaire négative (onde amortie vers $z>0$) est $\underline{k}=\sqrt{{\mu }_0\gamma \omega }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\pi /4}=\sqrt{\frac{{\mu }_0\gamma \omega }{2}}(1-\mathrm{j})$, d'où

$$\underline{k}=\frac{1-\mathrm{j}}{\delta },\delta =\sqrt{\frac{2}{{\mu }_0\gamma \omega }},E(z,t)=E_0{\mathrm{e}}^{-z/\delta }\cos (\omega t-z/\delta ).$$

L'onde se propage (phase $z/\delta$) et s'amortit (facteur ${\mathrm{e}}^{-z/\delta }$) sur la même longueur.