Établir la relation de dispersion du plasma

L'onde est transverse : $\mathrm{div}\underline{\overrightarrow{E}}=-\mathrm{j}k{\overrightarrow{e}}_z\cdot \underline{\overrightarrow{E}}=0$, ce qui est compatible avec la neutralité du plasma ($\rho =0$). On prend le rotationnel de Maxwell--Faraday et l'on utilise Maxwell--Ampère :

$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\underline{\overrightarrow{E}})=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\underline{\overrightarrow{E}})-\Delta \underline{\overrightarrow{E}}=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\underline{\overrightarrow{B}}\right)=-{\mu }_0\frac{\partial \underline{\overrightarrow{ȷ}}}{\partial t}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\underline{\overrightarrow{E}}}{\partial t^2},$$

d'où $\Delta \underline{\overrightarrow{E}}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\underline{\overrightarrow{E}}}{\partial t^2}={\mu }_0\frac{\partial \underline{\overrightarrow{ȷ}}}{\partial t}$. Avec $\Delta \to -k^2$, $\frac{\partial }{\partial t}\to \mathrm{j}\omega$ et $\underline{\overrightarrow{ȷ}}=\underline{\gamma }\underline{\overrightarrow{E}}$ :

$$-k^2+\frac{{\omega }^2}{c^2}={\mu }_0\mathrm{j}\omega \underline{\gamma }={\mu }_0\frac{n{e}^2}{m}⟹{\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2,{\omega }_p^2=\frac{n{e}^2}{m{\epsilon }_0},$$

puisque ${\mu }_0{c}^2=1/{\epsilon }_0$. C'est l'équation de Klein--Gordon (TD, exercice 1). Pour $\omega >{\omega }_p$, $k$ est réel : l'onde se propage. Pour $\omega <{\omega }_p$, $k^2<0$ : l'onde est évanescente. ${\omega }_p$ sépare les deux régimes : c'est la pulsation de coupure.