électromagnétisme (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Ce que les symétries disent, ce qu'elles taisent

Symétries et champ électrique stationnaire · B. Symétries et invariances de la distribution · niveau 2

Énoncé

Pour chacune des quatre distributions suivantes, chargées uniformément avec une densité positive, on demande, sans calcul d'intégrale : les invariances de la distribution ; les plans de symétrie ou d'antisymétrie qui passent par le point considéré ; ce qu'on en déduit pour le champ en ce point ; si le théorème de Gauss permet d'en obtenir la norme.

1) (a) Un segment de longueur $2 L$ , de densité linéique $λ$ ; le point $M$ est sur son plan médiateur, à la distance $d$ du milieu $H$ . On admet, pour ce point, $E (M) = \frac{λ}{2 π ε _{0} d} \frac{L}{L ^{2} + d ^{2}}$ . Jusqu'à quelle distance $d$ peut-on modéliser ce segment par un fil infini, à $1 %$ près ? Application à un fil de $1 m$ .

(b) Une demi-boule de rayon $R$ , de densité volumique $ρ$ ; le point $O$ est le centre de sa face plane. Le champ en $O$ est-il nul ?

(c) Deux fils infinis parallèles, distants de $2 b$ , portant $+ λ$ et $- λ$ ; le point $M$ est sur leur plan médiateur $Π^{*}$ , à la distance $h$ du plan des fils. Que vaut le potentiel sur $Π^{*}$ (origine à l'infini) ? Exprimer $E (M)$ .

(d) Un cube de densité volumique $ρ$ ; $Ω$ est son centre, $P$ un point d'une grande diagonale, distinct de $Ω$ .

2) On propose trois cartes de lignes de champ, tracées dans un plan perpendiculaire à des fils infinis : (A) les lignes issues de deux fils portant $+ λ$ , qui s'écartent l'une de l'autre ; (B) des cercles concentriques orientés, centrés sur un fil ; (C) les lignes qui vont d'un fil $+ λ$ à un fil $- λ$ . Lesquelles peuvent être des cartes de champ électrostatique ? Justifier.

Corrigé

La stratégie. Pour chaque distribution, la même grille : invariances (variables dont $E$ ne dépend pas), plans passant par le point (direction de $E$ , vecteur polaire : contenu dans un plan de symétrie, normal à un plan d'antisymétrie), puis la question de Gauss : existe-t-il une surface fermée sur laquelle $E$ est constant et normal ?

1a) Le segment. Aucune invariance par translation (le segment est fini) ; invariance par rotation autour de son axe. En $M$ , le plan médiateur et le plan qui contient le segment et $M$ sont plans de symétrie : $E (M)$ est porté par leur intersection, la droite $(H M)$ . Gauss est inutilisable : sur aucune surface fermée simple le champ n'est constant. Le modèle de fil infini remplace $\frac{L}{L ^{2} + d ^{2}}$ par $1$ ; l'écart reste sous $1 %$ tant que $\frac{L}{L ^{2} + d ^{2}} \geq 0, 99$ , soit $d \leq L \frac{1}{0 , 9 9 ^{2}} - 1 = 0, 142 L .$ Pour un fil de $1 m$ ( $L = 0, 50 m$ ), $d \leq 7, 1 cm$ : un fil « infini » l'est à quelques centimètres de lui, au milieu.

1b) La demi-boule. Invariance par rotation autour de l'axe ; tout plan contenant l'axe est plan de symétrie : $E (O)$ est porté par l'axe. Mais le plan de la face plane n'est pas plan de symétrie (la demi-boule n'est que d'un côté) : rien n'impose $E (O) = 0$ . Et le champ n'est pas nul : chaque élément de charge, situé du même côté, repousse un test positif en $O$ avec une composante axiale de même signe. $E (O)$ pointe hors de la demi-boule, le long de l'axe (un calcul que l'on ne demande pas donne $ρR /4 ε_{0}$ ). Gauss est inutilisable.

1c) Deux fils opposés. Invariance par translation le long des fils. Le plan des fils est plan de symétrie ; le plan médiateur $Π^{*}$ est plan d'antisymétrie (la réflexion échange $+ λ$ et $- λ$ ). En $M \in Π^{*}$ , $E (M)$ est normal à $Π^{*}$ , dirigé du fil $+ λ$ vers le fil $- λ$ . Le potentiel de la paire est $V = \frac{λ}{2 π ε _{0}} ln \frac{r _{-}}{r _{+}}$ , où $r_{\pm}$ sont les distances aux deux fils (la paire est neutre : on peut prendre l'origine à l'infini) ; sur $Π^{*}$ , $r_{+} = r_{-}$ et $V = 0$ : un plan d'antisymétrie est équipotentiel. Chaque fil crée en $M$ un champ de norme $\frac{λ}{2 π ε _{0} b ^{2} + h ^{2}}$ dont seule la composante normale à $Π^{*}$ survit, $\frac{b}{b ^{2} + h ^{2}}$ fois la norme, d'où $E (M) = \frac{λ b}{π ε _{0} ( b ^{2} + h ^{2} )} .$ Gauss donne le champ de chaque fil, et la superposition fait le reste.

1d) Le cube. Aucune invariance continue. En $Ω$ , les trois plans médians sont plans de symétrie : $E (Ω)$ devrait être contenu dans les trois, dont l'intersection est un point : $E (Ω) = 0$ . En $P$ , sur une grande diagonale, les trois plans qui contiennent cette diagonale et une arête sont plans de symétrie : $E (P)$ est porté par la diagonale ; la symétrie ne dit ni sa norme ni son sens. Gauss est inutilisable.

2) Les cartes. (A) est compatible : les lignes divergent de charges positives et respectent les deux plans de symétrie de la paire. (B) est impossible : sur un cercle de champ orienté, la circulation $\oint E \cdot d ℓ$ serait strictement positive, alors que le champ électrostatique est à circulation conservative ( $rot E = 0$ ). (C) est compatible : les lignes vont de $+ λ$ à $- λ$ et coupent orthogonalement le plan d'antisymétrie.

Ce que l'exercice installe. Une grille fixe — invariances, plans au point considéré, applicabilité de Gauss — et trois mises en garde : la symétrie donne une direction, jamais une valeur ; elle n'impose un champ nul qu'à l'intersection de trois plans ; un modèle infini se justifie par un rapport d'échelles chiffré ( $d \leq 0, 14 L$ ). Une carte électrostatique n'a pas de ligne fermée.

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