Direction du champ par les symétries seules

Deux plans de symétrie de la distribution passent par un point $M$ de l'axe $Oz$ : le plan $y=0$ (qui contient les deux fils) et le plan $x=0$ (médiateur des deux fils). Le champ $\overrightarrow{E}(M)$ appartient à chacun de ces plans, donc à leur intersection : il est porté par l'axe $Oz$. Mais le plan $z=\text{cste}$ passant par $M$, perpendiculaire aux fils, est lui aussi plan de symétrie de la distribution : chaque fil, infini selon $z$, est globalement invariant par la réflexion échangeant $z_M+\zeta$ et $z_M-\zeta$. Le champ $\overrightarrow{E}(M)$ doit donc aussi appartenir à ce plan, c'est-à-dire être orthogonal à $Oz$. Un vecteur à la fois porté par $Oz$ et orthogonal à $Oz$ ne peut être que nul : $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$ en tout point de l'axe $Oz$.