Équation de Poisson dans une boule chargée

À l'intérieur, $\overrightarrow{E}=\frac{\rho r}{3{\epsilon }_0}{\overrightarrow{u}}_r$, donc $V(r)=-\frac{\rho r^2}{6{\epsilon }_0}+\text{cste}$. En coordonnées sphériques, pour un potentiel radial, $\Delta V=\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right)$. Avec $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=-\frac{\rho r}{3{\epsilon }_0}$, on a $r^2\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=-\frac{\rho r^3}{3{\epsilon }_0}$ puis $\Delta V=\frac{1}{r^2}\left(-\frac{3\rho r^2}{3{\epsilon }_0}\right)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$, soit $\Delta V+\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=0$ : l'équation de Poisson est bien vérifiée.