électromagnétisme (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

La diode à vide : l'équation de Poisson à l'œuvre, loi de Child-Langmuir

Symétries et champ électrique stationnaire · C. Circulation, potentiel et équation de Poisson · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une diode à vide plane comporte une cathode chauffée, plan $x = 0$ au potentiel $0$ , qui émet des électrons (charge $- e$ , masse $m$ ) sans vitesse initiale, et une anode, plan $x = d$ , au potentiel $U > 0$ . On se place en régime permanent ; tout ne dépend que de $x$ . Les électrons en transit forment une charge d'espace de densité $ρ (x) < 0$ et vont vers l'anode à la vitesse $v (x) u_{x}$ ; la densité de courant vaut $j = ρ v u_{x} = - J u_{x}$ ( $J > 0$ ). On admet deux résultats : en régime permanent, $J$ est le même à toute abscisse (conservation de la charge : il ne s'accumule de charge nulle part) ; et, lorsque la cathode émet autant d'électrons qu'on lui en demande, le champ électrique est nul à sa surface.

1) Exprimer $v (x)$ en fonction du potentiel $V (x)$ par le théorème de l'énergie cinétique, puis $ρ (x)$ en fonction de $J$ et de $V (x)$ .

2) À partir de l'équation de Poisson, établir l'équation différentielle vérifiée par $V (x)$ et écrire les trois conditions aux limites.

3) En cherchant $V = U (x / d)^{n}$ , déterminer $n$ , puis $J$ en fonction de $U$ et $d$ (loi de Child-Langmuir). Vérifier l'homogénéité.

4) Comparer au cas où la charge d'espace serait négligeable : potentiel, champ à la cathode et à l'anode, durée du transit en fonction de la vitesse $v_{f}$ d'arrivée sur l'anode.

5) Valeurs : $U = 100 V$ , $d = 2, 0 mm$ , cathode de $1, 0 c m^{2}$ . Calculer $J$ , l'intensité $I$ , la puissance reçue par l'anode, $v_{f}$ et la durée du transit. Que devient $I$ si l'on double $U$ ? La diode obéit-elle à la loi d'Ohm ?

Corrigé

La stratégie. Trois lois se bouclent : l'énergie (la vitesse ne dépend que du potentiel), le courant (la densité se déduit de la vitesse) et l'équation de Poisson (le potentiel dépend de la densité). La boucle se referme en une équation non linéaire, résolue par un essai en loi de puissance.

1) Vitesse et densité. Seule la force électrique travaille, et l'énergie mécanique $\frac{1}{2} m v^{2} + (- e) V$ se conserve ; elle est nulle à la cathode ( $v = 0$ , $V = 0$ ) : $v (x) = \frac{2 e V ( x )}{m}, ρ (x) = \frac{j _{x}}{v} = - J \frac{m}{2 e V ( x )} .$ Les électrons sont lents près de la cathode : c'est là qu'ils s'accumulent.

2) L'équation du potentiel. À une dimension, $Δ V = \frac{d ^{2} V}{d x ^{2}}$ , et l'équation de Poisson $Δ V + ρ / ε_{0} = 0$ donne $\frac{d ^{2} V}{d x ^{2}} = \frac{J}{ε _{0}} \frac{m}{2 e} V^{- 1/2}, V (0) = 0, V (d) = U, \frac{d V}{d x} (0) = 0.$ Trois conditions pour une équation du second ordre : elles fixent la solution et l'inconnue $J$ .

3) La loi en puissance trois demis. Avec $V = U (x / d)^{n}$ , le premier membre est en $x^{n - 2}$ , le second en $x^{- n /2}$ : $n - 2 = - \frac{n}{2}$ , soit $n = \frac{4}{3}$ , et $n (n - 1) = \frac{4}{9}$ . L'identification donne $\frac{4}{9} \frac{U}{d ^{2}} (\frac{x}{d})^{- 2/3} = \frac{J}{ε _{0}} \frac{m}{2 e U} (\frac{x}{d})^{- 2/3} ⟹ J = \frac{4 ε _{0}}{9} \frac{2 e}{m} \frac{U ^{3/2}}{d ^{2}}$ Les trois conditions sont satisfaites : $\frac{d V}{d x} = \frac{4 U}{3 d} (\frac{x}{d})^{1/3}$ s'annule en $0$ . Homogénéité : $ε_{0} U / d^{2}$ est une charge volumique (Poisson), $e U / m$ une vitesse ; leur produit est une densité de courant.

4) Ce que change la charge d'espace. Sans elle, $\frac{d ^{2} V}{d x ^{2}} = 0$ : $V = U x / d$ , champ uniforme de norme $U / d$ . Avec elle, $∣ E ∣ = \frac{4 U}{3 d} (\frac{x}{d})^{1/3}$ : nul à la cathode, $\frac{4 U}{3 d}$ à l'anode. Les électrons déjà émis repoussent ceux qui sortent : c'est leur propre charge qui limite le courant, pas la cathode. Avec $v = v_{f} (x / d)^{2/3}$ , le transit dure $\int_{0}^{d} \frac{d x}{v _{f} ( x / d ) ^{2/3}} = \frac{3 d}{v _{f}}$ , contre $\frac{2 d}{v _{f}}$ pour le mouvement uniformément accéléré : les électrons traînent près de la cathode.

5) Ordres de grandeur. $J = \frac{4 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{- 12}}{9} \frac{2 \times 1 , 60 \times 1 0 ^{- 19}}{9 , 11 \times 1 0 ^{- 31}} \frac{10 0 ^{3/2}}{( 2 , 0 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}} \approx 5, 8 \times 1 0^{2} A m^{- 2},$ soit $I = J S \approx 58 mA$ pour $1 c m^{2}$ . Les électrons arrivent avec $v_{f} = 2 e U / m \approx 5, 9 \times 1 0^{6} m s^{- 1}$ (deux pour cent de la vitesse de la lumière : la mécanique classique suffit), après un transit de $3 d / v_{f} \approx 1, 0 ns$ . L'anode reçoit leur énergie cinétique, $P = U I \approx 5, 8 W$ , qu'elle dissipe en chaleur au choc : l'anode chauffe. Doubler $U$ multiplie $J$ par $2^{3/2} \approx 2, 83$ : la caractéristique $I (U)$ n'est pas linéaire, la diode n'est pas un conducteur ohmique.

Ce que l'exercice installe. L'équation de Poisson résolue lorsque la charge dépend elle-même du potentiel : énergie, courant et Poisson se bouclent, et le nombre de conditions aux limites fixe une inconnue physique. Une loi de puissance se trouve par identification des exposants ; une loi physique se vérifie par son homogénéité et ses ordres de grandeur.

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