électromagnétisme (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Problème : le compteur Geiger-Müller, champ d'une distribution à symétrie cylindrique et avalanche au ras du fil

Symétries et champ électrique stationnaire · F. Exemples canoniques par symétrie · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un compteur Geiger-Müller est un tube métallique cylindrique (la cathode, rayon intérieur $b = 1, 0 cm$ ) rempli d'argon sous pression réduite, le long de l'axe duquel est tendu un fil fin (l'anode, rayon $a = 25 μ m$ ). Une tension $U = 1, 0 \times 1 0^{3} V$ est appliquée entre le fil et le tube. Le tube est long devant $b$ ; loin de ses extrémités, on modélise le fil par une distribution cylindrique de charge linéique $+ λ$ , et le tube par une distribution cylindrique coaxiale de charge linéique $- λ$ (on ne cherche pas comment ces charges se répartissent). Quand un rayonnement ionise le gaz, les électrons libérés dérivent vers le fil ; s'ils gagnent, entre deux chocs, assez d'énergie pour ioniser à leur tour un atome d'argon, une avalanche se déclenche et donne une impulsion mesurable.

Données de l'énoncé (valeurs de modèle) : énergie d'ionisation de l'argon $W_{i} = 15, 8 eV$ ; distance moyenne parcourue par un électron entre deux chocs dans le gaz du tube, $ℓ = 5 μ m$ .

1) Établir, par les symétries, les invariances et le théorème de Gauss, l'expression du champ $E$ en tout point situé entre le fil et le tube, et à l'extérieur du tube.

2) Exprimer la tension $U$ en fonction de $λ$ , puis le champ $E (r)$ en fonction de $U$ . Calculer $λ$ , $E (a)$ et $E (b)$ .

3) Décrire les équipotentielles. On trace les équipotentielles qui découpent $U$ en cinq intervalles égaux : quels sont leurs rayons ? Commenter leur espacement.

4) L'avalanche. Par le théorème de l'énergie cinétique, exprimer l'énergie qu'un électron gagne sur une distance $ℓ$ là où règne le champ $E$ . En déduire le champ seuil $E_{s}$ au-delà duquel il peut ioniser l'argon entre deux chocs, puis le rayon $r_{s}$ en deçà duquel l'avalanche se produit. Quelle fraction de la tension $U$ y chute ?

5) On remplace le fil et le tube par deux plans parallèles distants de $1 cm$ , sous la même tension. Y a-t-il avalanche ? Quelle tension faudrait-il ?

6) Conclure sur le rôle du rayon $a$ du fil : comment varie $E (a)$ avec $a$ , à $U$ fixée ? Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie. Le schéma complet — symétries, Gauss, circulation — appliqué à la géométrie coaxiale ; puis un critère énergétique local, le théorème de l'énergie cinétique sur un libre parcours, qui transforme une valeur de champ en une zone de l'espace.

1) Le champ par Gauss. Invariances : la distribution est invariante par translation le long de l'axe et par rotation autour de lui : $E$ ne dépend que de la distance $r$ à l'axe. Symétries : en un point $M$ , le plan qui contient $M$ et l'axe, et le plan perpendiculaire à l'axe qui passe par $M$ , sont plans de symétrie ; $E (M)$ est contenu dans les deux, donc porté par leur intersection : $E = E (r) u_{r}$ , radial. Surface de Gauss : un cylindre coaxial de rayon $r$ et de hauteur $h$ . Sur les deux bases, $E$ est tangent : flux nul ; sur la paroi, $E$ est normal et de norme constante : flux $E (r) 2 π r h$ .

Pour $a < r < b$ , le cylindre enferme la charge $λh$ du fil seul : $E (r) 2 π r h = λh / ε_{0}$ , soit $E = \frac{λ}{2 π ε _{0} r} u_{r} .$
Pour $r > b$ , il enferme $λh - λh = 0$ : $E = 0$ . Le compteur chargé ne crée aucun champ au-dehors.

2) Tension et champ. Par circulation le long d'un rayon, $U = V (a) - V (b) = \int_{a}^{b} \frac{λ}{2 π ε _{0} r} d r = \frac{λ}{2 π ε _{0}} ln \frac{b}{a}, d’o u ˋ E (r) = \frac{U}{r ln ( b / a )} .$ Ici $ln (b / a) = ln 400 = 5, 99$ ; $λ = \frac{2 π ε _{0} U}{ln ( b / a )} \approx 9, 3 \times 1 0^{- 9} C m^{- 1}$ ; $E (a) = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{3}}{25 \times 1 0 ^{- 6} \times 5 , 99} \approx 6, 7 \times 1 0^{6} V m^{- 1},$ $E (b) = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{3}}{1 , 0 \times 1 0 ^{- 2} \times 5 , 99} \approx 1, 7 \times 1 0^{4} V m^{- 1} .$ Quatre cents fois plus au ras du fil qu'au ras du tube, à la même tension.

3) Les équipotentielles. Ce sont des cylindres coaxiaux (perpendiculaires aux lignes de champ radiales), avec $V (r) - V (b) = U \frac{ln ( b / r )}{ln ( b / a )}$ . Les cinq intervalles égaux correspondent à $ln (b / r)$ multiple de $ln (b / a) /5$ , soit $r_{k} = b (a / b)^{k /5}$ : $10 mm$ , $3, 0 mm$ , $0, 91 mm$ , $0, 27 mm$ , $83 μ m$ , $25 μ m$ — une progression géométrique de raison $0, 30$ . Les équipotentielles sont très resserrées près du fil, où le champ est intense ( $E ≃ Δ V /Δ r$ ), et très espacées près du tube, où il est faible : c'est la lecture topographique du champ en $1/ r$ .

4) L'avalanche, au ras du fil seulement. Sur une distance $ℓ$ parcourue dans le sens de la force $- e E$ (vers le fil), le théorème de l'énergie cinétique donne un gain $Δ E_{c} = e E ℓ$ (le champ varie peu sur $5 μ m$ , sauf tout près du fil, où l'estimation reste un ordre de grandeur). L'ionisation exige $e E ℓ \geq W_{i}$ : $E_{s} = \frac{W _{i}}{e ℓ} = \frac{15 , 8 V}{5 \times 1 0 ^{- 6} m} \approx 3, 2 \times 1 0^{6} V m^{- 1},$ $r_{s} = \frac{U}{E _{s} ln ( b / a )} = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{3}}{3 , 16 \times 1 0 ^{6} \times 5 , 99} \approx 53 μ m .$ L'avalanche n'a lieu que dans une gaine de $53 - 25 = 28 μ m$ autour du fil ; partout ailleurs, les électrons dérivent sans se multiplier. Il y chute $U \frac{ln ( r _{s} / a )}{ln ( b / a )} = U \frac{ln 2 , 11}{5 , 99} \approx 0, 12 U$ , soit $125 V$ : un huitième de la tension, sur un quatre-centième du rayon.

5) Sans fil fin, pas d'avalanche. Entre deux plans distants de $1 cm$ , le champ est uniforme : $E = U / d = 1, 0 \times 1 0^{5} V m^{- 1}$ , trente fois moins que $E_{s}$ , et nulle part plus. Aucune avalanche. Pour en obtenir, il faudrait $U = E_{s} d \approx 32 kV$ — et alors partout à la fois, ce qui produit une décharge dans tout le volume au lieu d'une impulsion localisée.

6) Le rôle du fil fin. À $U$ fixée, $E (a) = \frac{U}{a ln ( b / a )}$ croît quand $a$ diminue (comme $1/ a$ , le logarithme variant peu) : diviser le rayon du fil par $10$ multiplie le champ à sa surface par environ $7$ . C'est la géométrie, et non la tension, qui crée le champ intense ; elle le confine dans une gaine mince, ce qui rend le compteur sensible et sûr. Le même effet fait briller les lignes à haute tension par temps humide (effet couronne) et fonctionner les électrofiltres.

Résultat établi : le champ et le potentiel créés par une distribution à symétrie cylindrique, $E = \frac{λ}{2 π ε _{0} r} u_{r}$ et $V (r) = - \frac{λ}{2 π ε _{0}} ln r + cste$ , obtenus par les symétries, les invariances et le théorème de Gauss : le champ décroît en $1/ r$ , ne dépend que de la charge intérieure au cylindre de Gauss, et s'annule à l'extérieur d'une distribution coaxiale globalement neutre.

Ce que l'exercice installe. Le schéma symétries → Gauss → circulation sur un dispositif réel ; la lecture topographique (équipotentielles en progression géométrique) ; un critère énergétique qui transforme une valeur de champ en zone active ; et un réflexe d'ingénieur : à tension fixée, c'est la courbure des conducteurs qui fixe le champ maximal.

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