électromagnétisme (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Une cavité où le champ est uniforme

Symétries et champ électrique stationnaire · F. Exemples canoniques par symétrie · niveau 2

Énoncé

Une boule de centre $O$ et de rayon $R$ , chargée uniformément avec la densité volumique $ρ > 0$ , est percée d'une cavité sphérique vide, de centre $O^{'}$ et de rayon $a$ ; on note $d = O O^{'}$ , avec $d + a < R$ .

1) Pourquoi le théorème de Gauss ne permet-il pas de calculer directement le champ de cette distribution ?

2) Rappeler le champ créé en un point $M$ intérieur à une boule pleine, de centre $O$ , uniformément chargée avec la densité $ρ$ , et l'écrire sous forme vectorielle en fonction de $O M$ .

3) En décomposant la distribution en deux distributions dont on connaît le champ, montrer que le champ dans la cavité vaut $E = \frac{ρ d}{3 ε _{0}}$ . De quoi dépend-il, et de quoi ne dépend-il pas ? Décrire les lignes de champ et les équipotentielles dans la cavité ; cas limite $d \to 0$ . Valeur pour $ρ = 1, 0 μ C m^{- 3}$ et $d = 1, 0 cm$ .

4) Exprimer le champ en un point de la boule situé hors de la cavité, puis à l'extérieur de la boule. Vérifier la continuité du champ sur la paroi de la cavité.

5) Exprimer la différence de potentiel entre deux points $M_{1}$ et $M_{2}$ de la cavité.

6) Même question qu'en 3) pour un cylindre infini de rayon $R$ , de densité $ρ$ , percé d'une cavité cylindrique parallèle à son axe, dont l'axe est décalé de $d$ (perpendiculaire aux axes).

Corrigé

La stratégie. Une cavité, c'est une charge négative fictive superposée à une distribution pleine : boule pleine de densité $+ ρ$ plus petite boule de densité $- ρ$ , deux distributions à symétrie sphérique dont Gauss donne le champ ; puis on additionne des vecteurs.

1) Gauss impuissant. La distribution n'a qu'un axe de révolution, la droite $(O O^{'})$ ; aucune surface fermée simple ne porte un champ de norme constante. Gauss reste vrai, mais il ne donne plus le champ.

2) Boule pleine. Symétrie sphérique, sphère de Gauss de rayon $r < R$ : $E (r) 4 π r^{2} = \frac{ρ \frac{4}{3} π r ^{3}}{ε _{0}}$ , d'où $E = \frac{ρ r}{3 ε _{0}}$ , radial, soit $E = \frac{ρ}{3 ε _{0}} O M$ . La forme vectorielle est la clé : elle se superpose sans calcul d'angle.

3) Le champ uniforme. En $M$ dans la cavité, la boule $(O, ρ)$ crée $\frac{ρ}{3 ε _{0}} O M$ , la boule $(O^{'}, - ρ)$ crée $- \frac{ρ}{3 ε _{0}} O^{'} M$ ( $M$ est intérieur aux deux), d'où $E = \frac{ρ}{3 ε _{0}} (O M - O^{'} M) = \frac{ρ}{3 ε _{0}} O O^{'} = \frac{ρ d}{3 ε _{0}} .$ Il ne dépend ni du point $M$ , ni du rayon $a$ de la cavité, ni de $R$ : seulement de $ρ$ et du décentrement. Les lignes de champ y sont des droites parallèles à $d$ ; les équipotentielles, des plans perpendiculaires. Si $d \to 0$ , $E = 0$ : une cavité concentrique est à l'abri du champ, comme l'intérieur d'une sphère chargée. Pour $ρ = 1, 0 μ C m^{- 3}$ et $d = 1, 0 cm$ : $E = \frac{1 0 ^{- 6} \times 1 0 ^{- 2}}{3 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{- 12}} \approx 3, 8 \times 1 0^{2} V m^{- 1}$ .

4) Hors de la cavité. Dans la matière ( $M$ intérieur à la grande boule, extérieur à la petite), la petite boule agit comme une charge ponctuelle $- ρ \frac{4}{3} π a^{3}$ placée en $O^{'}$ : $E = \frac{ρ}{3 ε _{0}} (O M - a^{3} \frac{O ^{'} M}{O ^{'} M ^{3}});$ à l'extérieur, les deux boules agissent comme deux charges ponctuelles : $E = \frac{ρ}{3 ε _{0}} (R^{3} \frac{O M}{O M ^{3}} - a^{3} \frac{O ^{'} M}{O ^{'} M ^{3}})$ . Sur la paroi, $O^{'} M = a$ , et le second terme vaut $\frac{ρ}{3 ε _{0}} O^{'} M$ , le même que vu de l'intérieur : le champ est continu, comme il se doit en l'absence de charge surfacique.

5) Potentiel. Le champ étant uniforme, $V (M_{1}) - V (M_{2}) = \int_{M_{1}}^{M_{2}} E \cdot d ℓ = E \cdot M_{1} M_{2} = \frac{ρ}{3 ε _{0}} d \cdot M_{1} M_{2}$ .

6) Version cylindrique. Pour un cylindre infini plein, Gauss sur un cylindre coaxial de rayon $r$ donne $E 2 π r h = ρ π r^{2} h / ε_{0}$ , soit $E = \frac{ρ}{2 ε _{0}} H M$ ( $H$ projeté de $M$ sur l'axe). La même superposition donne dans la cavité $E = \frac{ρ d}{2 ε _{0}}$ , uniforme : seul le facteur géométrique change, $\frac{1}{3}$ en sphérique, $\frac{1}{2}$ en cylindrique.

Ce que l'exercice installe. Sans symétrie, on décompose, au besoin avec une densité négative fictive, en distributions de haute symétrie dont le champ est écrit sous forme vectorielle ; la somme des vecteurs fait apparaître une propriété cachée (l'uniformité) qu'aucune intégrale directe n'aurait laissé voir. La continuité du champ à la traversée d'une surface non chargée sert de vérification.

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