Conservation de la charge et sphère qui se décharge

La conservation de la charge intégrée sur un volume contenant la sphère donne $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}+\oint {\oint }_{\Sigma }\overrightarrow{j}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=0$. Pour une sphère $\Sigma$ de rayon $r$ entourant la charge, $\oint {\oint }_{\Sigma }\overrightarrow{j}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=4\pi r^{2}j(r,t)$, d'où $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-4\pi r^{2}j(r,t)$. Le courant sortant total $I=4\pi r^{2}j$ vaut donc $-\dot{Q}>0$ : la sphère perd bien sa charge au rythme du courant qui s'en échappe, indépendamment de $r$ tant qu'on entoure toute la charge (en régime lentement variable, entre la sphère et $\Sigma$).