Équation de Poisson dans une boule chargée

On calcule $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=-\frac{\rho r}{3{\epsilon }_0}$, puis

$$\Delta V=\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(-\frac{\rho r^3}{3{\epsilon }_0}\right)=\frac{1}{r^2}\left(-\frac{\rho r^2}{{\epsilon }_0}\right)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}:$$

c'est l'équation de Poisson. Le champ vaut $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}V=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}{\overrightarrow{u}}_r=\frac{\rho r}{3{\epsilon }_0}{\overrightarrow{u}}_r$, et le théorème de Gauss sur une sphère de rayon $r$ le confirme : $4\pi r^{2}E=\frac{4}{3}\pi r^3\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$. L'équation locale et la forme intégrale disent la même chose.