Force volumique et puissance cédée aux porteurs

Équations de Maxwell · niveau 1 (application)

Énoncé

Un milieu contient plusieurs espèces de porteurs, l'espèce $k$ ayant la densité particulaire $n_{k}$ , la charge $q_{k}$ et la vitesse $v_{k}$ .

Établir la force volumique $f = ρ E + j \land B$ exercée par le champ, puis la puissance volumique $p = j \cdot E$ qu'il cède aux porteurs.
Dans un conducteur ohmique de conductivité $γ$ , exprimer $p$ en fonction de $j$ , puis de $E$ . Interpréter.
Un fil de cuivre ( $γ = 5.96 \times 1 0^{7} S / m$ ) de section $1.5 m m^{2}$ transporte $10 A$ . Calculer $j$ , $E$ , $p$ et la puissance dissipée par mètre.

Le volume $d τ$ contient $n_{k} d τ$ porteurs de l'espèce $k$ , chacun soumis à $q_{k} (E + v_{k} \land B)$ . En sommant, $f d τ = \sum_{k} n_{k} q_{k} (E + v_{k} \land B) d τ = (ρ E + j \land B) d τ$ , avec $ρ = \sum_{k} n_{k} q_{k}$ et $j = \sum_{k} n_{k} q_{k} v_{k}$ . La puissance de la force de Lorentz sur un porteur est $q_{k} E \cdot v_{k}$ (la partie magnétique ne travaille pas) ; en sommant, $p = \sum_{k} n_{k} q_{k} v_{k} \cdot E = j \cdot E$ . Un milieu neutre ( $ρ = 0$ ) parcouru par un courant subit la seule force $j \land B$ : c'est la force de Laplace.
Avec $j = γ E$ : $p = \frac{j ^{2}}{γ} = γ E^{2} > 0$ . Le champ cède toujours de l'énergie aux porteurs, qui la transmettent au réseau par collisions : c'est l'effet Joule, dissipé sur place.
$j = \frac{10}{1 , 5 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 6.7 \times 1 0^{6} A / m^{2}$ , $E = \frac{j}{γ} \approx 0.11 V / m$ , $p = \frac{j ^{2}}{γ} \approx 7.5 \times 1 0^{5} W / m^{3}$ , et par mètre de fil $pS \approx 1.1 W / m$ : c'est $R I^{2}$ pour la résistance linéique $\frac{1}{γ S} \approx 11 m Ω/ m$ .