Capteur de cliquetis d'un moteur : du diagramme de Bode à l'équation différentielle

La stratégie. Reconnaître un passe-bande du deuxième ordre sur ses asymptotes ; transposer en remontant la chaîne $j\omega \to p\to \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ ; lire le régime libre sur la forme canonique.

1) Identification. Deux asymptotes de pentes $+20$ puis $-20\mathrm{dB}$ par décade, un maximum où la phase s'annule : c'est la signature d'un passe-bande d'ordre 2. Le gain maximal $6,0\mathrm{dB}$ donne $G_0=10^{6/20}=2,0$ ; ${\omega }_0=2\pi f_0=3,77\times 10^4\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. La bande passante à $-3\mathrm{dB}$ d'un tel filtre vaut $\Delta f=f_0/Q$ : $\Delta f=6,39-5,64=0,75\mathrm{kHz}$, donc $Q=6,0/0,75=8,0$. Le filtre est sélectif : il ne retient que la vibration de cliquetis.

2) Remonter vers l'équation. On multiplie numérateur et dénominateur par $\frac{j\omega }{Q{\omega }_0}$ : $$H(j\omega )=G_0\frac{\frac{j\omega }{Q{\omega }_0}}{1+\frac{j\omega }{Q{\omega }_0}+\frac{(j\omega {)}^2}{{\omega }_0^2}}⟹H(p)=G_0\frac{\frac{p}{Q{\omega }_0}}{1+\frac{p}{Q{\omega }_0}+\frac{p^2}{{\omega }_0^2}}.$$ On écrit $D(p)s=N(p)e$ et l'on rend à chaque $p^k$ sa dérivée : $$\frac{1}{{\omega }_0^2}\ddot{s}+\frac{1}{Q{\omega }_0}\dot{s}+s=\frac{G_0}{Q{\omega }_0}\dot{e}.$$ Le second membre est une dérivée de l'entrée : un signal constant ne passe pas.

3) Stabilité et échelon. Les coefficients $\frac{1}{{\omega }_0^2}$, $\frac{1}{Q{\omega }_0}$, $1$ sont strictement positifs : stable. Pour un échelon, $\dot{e}=0$ après le front : la sortie suit le régime libre et tend vers $0$. C'est cohérent avec $H(0)=0$ : un passe-bande ne transmet pas le continu (le capteur ignore la dilatation lente du bloc).

4) Le filtre qui sonne. Le facteur d'amortissement vaut $\xi =\frac{1}{2Q}=0,0625$ : pseudo-périodique, la pseudo-pulsation ${\omega }_0\sqrt{1-{\xi }^2}=0,998{\omega }_0$ se confond avec ${\omega }_0$ ; le filtre sonne à $6,0\mathrm{kHz}$. L'enveloppe décroît en ${\mathrm{e}}^{-\xi {\omega }_{0}t}={\mathrm{e}}^{-t/{\tau }_e}$ avec $${\tau }_e=\frac{1}{\xi {\omega }_0}=\frac{2Q}{{\omega }_0}=\frac{16}{3,77\times 10^4}=0,42\mathrm{ms}.$$ Elle tombe à $5\%$ au bout de ${\tau }_e\ln 20=1,27\mathrm{ms}$, soit $1,27\times 6,0=7,6$ pseudo-périodes : le nombre d'oscillations visibles est de l'ordre de $Q$, ce qui donne une lecture directe du facteur de qualité.

À $6000\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}=100\mathrm{tr}{\mathrm{s}}^{-1}$, un moteur quatre temps à quatre cylindres réalise deux combustions par tour, soit $200$ par seconde : une toutes les $5,0\mathrm{ms}$. Le filtre a fini de sonner (en $1,3\mathrm{ms}$) bien avant la combustion suivante : chaque cliquetis est attribué au bon cylindre. Cas limite : un filtre bien plus sélectif ($Q=40$) sonnerait $6,3\mathrm{ms}$ et mélangerait deux combustions ; sélectivité et rapidité s'opposent, puisque ${\tau }_e=2Q/{\omega }_0$.

Ce que l'exercice installe. La transposition marche dans les deux sens : du Bode mesuré à $H(p)$, puis à l'équation différentielle. Le dénominateur d'un passe-bande est celui d'un deuxième ordre : sa stabilité se lit sur les signes, sa durée de « sonnerie » sur $2Q/{\omega }_0$. Le produit (bande passante) $\times$ (durée de réponse) est fixé : $\Delta f\cdot {\tau }_e=\frac{1}{\pi }$.