De l'équation différentielle à $H(p)$ et $H(j\omega )$

On remplace $\mathrm{d}/\mathrm{d}t\to p$ : $(p^2+5p+6)s=(2p+12)e$, d'où $H(p)=\frac{2p+12}{p^2+5p+6}=\frac{2(p+6)}{(p+2)(p+3)}$. Les pôles sont $r_1=-2$ et $r_2=-3$, tous deux réels négatifs : le système est stable, ce que confirme le critère des signes ($a_0=6$, $a_1=5$, $a_2=1$, tous strictement positifs). Le gain statique est $H(0)=12/6=2$. En régime sinusoïdal, $H(j\omega )=\frac{2(6+j\omega )}{(2+j\omega )(3+j\omega )}$ ; pour $\omega \gg 6\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $H(j\omega )\simeq \frac{2}{j\omega }$ : le gain décroît de $20\mathrm{dB}$ par décade, comme un intégrateur (deux pôles et un zéro).