électronique (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Le circuit RLC du TP : ce que l'oscillogramme dit de la bobine

Stabilité des systèmes linéaires · A. Fonction de transfert et réponses temporelles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

En TP, on alimente un circuit série par un générateur de signaux créneaux basse fréquence, de résistance interne $R_{g} = 50 Ω$ ; le circuit comporte une bobine d'inductance $L = 10 mH$ (et de résistance $r$ inconnue) et un condensateur $C = 100 nF$ . On observe la tension $u_{C}$ aux bornes du condensateur à chaque front montant du créneau, d'amplitude $E$ .

L'oscillogramme relevé est le suivant (tension rapportée à $E$ , temps en millisecondes depuis le front) :

1) Écrire l'équation différentielle vérifiée par $u_{C}$ en fonction de $e$ , puis sa forme canonique : exprimer $ω_{0}$ et $ξ$ en fonction de $L$ , $C$ et de la résistance totale $R = R_{g} + r$ . Le circuit est-il stable ?

2) Lire sur l'oscillogramme le premier dépassement et l'instant du premier maximum. En déduire $ξ$ et $ω_{0}$ . Comparer $ω_{0}$ à la valeur attendue.

3) En déduire la résistance totale $R$ , puis la résistance $r$ de la bobine.

4) On veut que la tension aux bornes du condensateur ne dépasse jamais sa valeur finale de plus de $5 %$ (pour protéger l'entrée d'un appareil branché en parallèle). Quelle résistance faut-il ajouter en série ? Quelle résistance donnerait le régime critique ?

Corrigé

La stratégie. Loi des mailles pour l'équation ; forme canonique pour $ω_{0}$ et $ξ$ ; lecture du dépassement et de $t_{1}$ , puis inversion des deux formules de la séance.

1) Équation et stabilité. Le courant est $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ ; la loi des mailles donne $e = R i + L \frac{d i}{d t} + u_{C}$ , soit $L C u ¨_{C} + R C u ˙_{C} + u_{C} = e .$ Par identification avec $\frac{1}{ω _{0}^{2}} s ¨ + \frac{2 ξ}{ω _{0}} s ˙ + s = e$ : $ω_{0} = \frac{1}{L C}, \frac{2 ξ}{ω _{0}} = R C ⟹ ξ = \frac{R}{2} \frac{C}{L} .$ Les trois coefficients $L C$ , $R C$ et $1$ sont strictement positifs : le circuit est stable, quelle que soit $R > 0$ . La résistance dissipe ; c'est elle qui fait tendre le régime libre vers zéro. Valeur attendue : $ω_{0} = \frac{1}{1 0 ^{- 2} \times 1 0 ^{- 7}} = 3, 16 \times 1 0^{4} rad s^{- 1}$ ( $f_{0} = 5, 03 kHz$ ), et $L / C = 316 Ω$ .

2) Lecture de l'oscillogramme. Le premier maximum vaut $1, 66 E$ : dépassement $D = 0, 66$ , à l'instant $t_{1} = 0, 10 ms$ . On inverse la formule du dépassement : $\frac{π ξ}{1 - ξ ^{2}} = ln \frac{1}{D} = 0, 416 ⟹ \frac{ξ}{1 - ξ ^{2}} = 0, 132 ⟹ ξ = \frac{0 , 132}{1 + 0 , 13 2 ^{2}} = 0, 131.$ Puis $t_{1} = \frac{π}{ω _{0} 1 - ξ ^{2}}$ donne $ω_{0} = \frac{π}{t _{1} 1 - ξ ^{2}} = \frac{π}{1 0 ^{- 4} \times 0 , 991} = 3, 17 \times 1 0^{4} rad s^{- 1},$ à $0, 2 %$ de $1/ L C$ : l'accord est excellent, ce qui valide le modèle (bobine idéale plus résistance série). La pseudo-période vaut $2 t_{1} = 0, 20 ms$ ; l'enveloppe décroît avec la constante de temps $\frac{1}{ξ ω _{0}} = 0, 24 ms$ , d'où la poignée d'oscillations visibles sur l'écran.

3) La résistance de la bobine. De $ξ = \frac{R}{2} \frac{C}{L}$ : $R = 2 ξ \frac{L}{C} = 2 \times 0, 131 \times 316 = 83 Ω, r = R - R_{g} = 33 Ω.$ C'est l'ordre de grandeur d'une bobine de TP de quelques milliers de spires. Le point délicat : la résistance interne du générateur compte ; l'oublier attribuerait $83 Ω$ à la bobine.

4) Dépassement de $5 %$ au plus. Il faut $ξ ⩾ 0, 690$ , soit $R ⩾ 2 \times 0, 690 \times 316 = 436 Ω : R_{ajout e ˊ e} = 436 - 83 = 354 Ω.$ Le régime critique ( $ξ = 1$ ) demande $R_{c} = 2 L / C = 632 Ω$ , soit $550 Ω$ ajoutés. On retiendra la première valeur : à $ξ \approx 0, 7$ , la réponse est plus rapide qu'au régime critique pour un dépassement de quelques pour cent seulement.

Ce que l'exercice installe. Un oscillogramme se lit : le dépassement donne $ξ$ , l'instant du premier maximum donne $ω_{0}$ , et l'accord avec $1/ L C$ valide le modèle. La forme canonique traduit l'exigence « dépassement maximal » en une résistance minimale, sans jamais résoudre l'équation.

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