électronique (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Le meilleur amortissement, par simulation

Stabilité des systèmes linéaires · D. Capacité numérique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On veut vérifier numériquement que le temps de réponse à $5 %$ d'un système du deuxième ordre est minimal pour un amortissement voisin de $0, 7$ . On travaille en temps réduit $u = ω_{0} t$ : la réponse à un échelon unité vérifie $y^{''} + 2 ξ y^{'} + y = 1$ , avec $y (0) = y^{'} (0) = 0$ .

1) Écrire cette équation comme un système de deux équations du premier ordre pour le vecteur $(y, v)$ avec $v = y^{'}$ , puis le schéma d'Euler explicite de pas $h$ .

2) Compléter le script suivant, qui renvoie le temps de réponse réduit $ω_{0} t_{5%}$ :

def t5(xi, h=1e-3, umax=30):
    y, v, u, dernier = 0.0, 0.0, 0.0, 0.0
    while u < umax:
        y, v = ..., ...
        u = u + h
        if abs(y - 1) > 0.05:
            dernier = u
    return dernier

3) Le script donne $ω_{0} t_{5%} = 5, 29$ ; $4, 42$ ; $2, 90$ ; $3, 38$ ; $4, 74$ pour $ξ = 0, 50$ ; $0, 69$ ; $0, 70$ ; $0, 80$ ; $1, 00$ . Interpréter le saut entre $0, 69$ et $0, 70$ , en calculant le dépassement pour ces deux valeurs. Conclure sur le réglage recherché en pratique.

Corrigé

La stratégie. Ramener l'ordre 2 à deux équations d'ordre 1, avancer pas à pas, et noter le dernier instant où la sortie est hors de la bande : c'est la définition même de $t_{5%}$ .

1) Système d'ordre 1 et schéma d'Euler. Avec $v = y^{'}$ : $y^{'} = v$ et $v^{'} = 1 - y - 2 ξ v$ . Le schéma d'Euler explicite remplace chaque dérivée par un taux d'accroissement sur un pas $h$ : $y_{n + 1} = y_{n} + h v_{n}, v_{n + 1} = v_{n} + h (1 - y_{n} - 2 ξ v_{n}) .$

2) Le script. La ligne manquante est

        y, v = y + h*v, v + h*(1 - y - 2*xi*v)

L'affectation simultanée est essentielle : les deux nouvelles valeurs sont calculées avec les anciennes $y_{n}$ et $v_{n}$ , comme le veut le schéma. Avec $h = 1 0^{- 3}$ (un millième de $1/ ω_{0}$ ), l'erreur d'Euler est négligeable devant les écarts étudiés ; on peut le vérifier en divisant $h$ par $10$ , les résultats ne changent pas au centième.

3) Le saut, et le réglage optimal. Le dépassement vaut $D (0, 69) = exp (- \frac{π \times 0 , 69}{1 - 0 , 476}) = 5, 0 %$ (un rien au-dessus), et $D (0, 70) = 4, 6 %$ . Pour $ξ = 0, 69$ , le premier maximum sort de la bande $\pm 5 %$ : la sortie n'y entre définitivement qu'après le premier minimum qui suit, d'où $t_{5%} = 4, 42/ ω_{0}$ . Pour $ξ = 0, 70$ , le premier maximum reste dans la bande : la sortie y entre dès sa première montée, à $2, 90/ ω_{0}$ . Le temps de réponse est donc une fonction discontinue de $ξ$ ; il est minimal juste au-dessus de la valeur $ξ = 0, 690$ où le dépassement vaut exactement $5 %$ .

En pratique, on vise $ξ \approx 0, 7$ : $ω_{0} t_{5%} \approx 2, 9$ , soit près de deux fois plus rapide que le régime critique ( $4, 74$ ), au prix d'un dépassement de moins de $5 %$ . Au-delà de $ξ = 1$ , la réponse devient d'autant plus lente que $ξ$ est grand.

Ce que l'exercice installe. Simuler un deuxième ordre, c'est l'écrire comme deux équations d'ordre 1 et avancer par Euler. Le temps de réponse à $5 %$ se mesure comme il se définit (dernier instant hors bande) ; sa discontinuité explique la valeur « magique » $ξ \approx 0, 7$ , à peine au-dessus de celle qui donne $5 %$ de dépassement.

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