Problème : le filtre de Sallen-Key d'une carte d'acquisition, ou pourquoi un deuxième ordre est stable si ses trois coefficients sont de même signe

La stratégie. Deux lois des nœuds donnent l'équation ; la somme et le produit des racines donnent le critère ; on l'applique ensuite au seul coefficient qui dépend du gain.

1) L'équation du filtre. En $B$, aucun courant n'entre dans l'amplificateur : le courant qui traverse la résistance $R$ entre $A$ et $B$ charge entièrement le condensateur relié à la masse, $$\frac{v_A-v_B}{R}=C{\dot{v}}_B⟹v_A=v_B+\tau {\dot{v}}_B.$$ En $A$, trois courants : celui venant de $e$, celui partant vers $B$, celui du condensateur relié à la sortie : $$\frac{e-v_A}{R}+\frac{v_B-v_A}{R}+C(\dot{s}-{\dot{v}}_A)=0⟹e-2v_A+v_B+\tau (K{\dot{v}}_B-{\dot{v}}_A)=0.$$ On remplace $v_A=v_B+\tau {\dot{v}}_B$ et ${\dot{v}}_A={\dot{v}}_B+\tau {\ddot{v}}_B$ : $$e-2v_B-2\tau {\dot{v}}_B+v_B+\tau K{\dot{v}}_B-\tau {\dot{v}}_B-{\tau }^2{\ddot{v}}_B=0⟹{\tau }^2{\ddot{v}}_B+(3-K)\tau {\dot{v}}_B+v_B=e.$$ Avec $s=K{v}_B$, on obtient l'équation annoncée. Par transposition : $$H(p)=\frac{K}{1+(3-K)\tau p+{\tau }^2{p}^2},H(j\omega )=\frac{K}{1-{\tau }^2{\omega }^2+j(3-K)\tau \omega },$$ gain statique $K$, ${\omega }_0=1/\tau$ et, par identification avec $1+\frac{p}{Q{\omega }_0}+\frac{p^2}{{\omega }_0^2}$, $Q=\frac{1}{3-K}$.

2) Le critère, établi. Les racines $r_1$, $r_2$ de $a_2{r}^2+a_{1}r+a_0=0$ vérifient $r_1+r_2=-\frac{a_1}{a_2}$ et $r_1{r}_2=\frac{a_0}{a_2}$. Le régime libre est $A{\mathrm{e}}^{r_{1}t}+B{\mathrm{e}}^{r_{2}t}$ (ou $(A+Bt){\mathrm{e}}^{rt}$ pour une racine double) : il tend vers zéro si et seulement si les deux racines ont une partie réelle strictement négative.

• Racines réelles. Toutes deux négatives $⟺$ somme négative et produit positif $⟺$ $\frac{a_1}{a_2}>0$ et $\frac{a_0}{a_2}>0$ : $a_1$ et $a_0$ du signe de $a_2$.
• Racines complexes conjuguées $\sigma \pm j\Omega$. Leur partie réelle est $\sigma =-\frac{a_1}{2a_2}$, négative $⟺\frac{a_1}{a_2}>0$ ; leur produit ${\sigma }^2+{\Omega }^2=\frac{a_0}{a_2}$ est automatiquement positif, donc $a_0$ est du signe de $a_2$.

Dans les deux cas : stable $⟺a_0,a_1,a_2$ non nuls et de même signe. Réciproquement, si un signe diffère, une racine au moins a une partie réelle positive (somme positive, ou produit négatif pour des racines réelles de signes opposés). Si $a_1=0$ et $\frac{a_0}{a_2}>0$, les racines sont $\pm j\sqrt{a_0/a_2}$ : oscillation entretenue, système marginalement stable. Si $a_0=0$, une racine est nulle : le régime libre tend vers une constante, pas vers zéro.

3) Le réglage nominal. $K=1+\frac{5,6}{10}=1,56$ ; $Q=\frac{1}{3-1,56}=0,694$ ; $\xi =\frac{1}{2Q}=0,72$. Les trois coefficients ${\tau }^2$, $(3-K)\tau =1,44\tau$ et $1$ sont positifs : stable. Dépassement $$D=\exp \left(-\frac{\pi \times 0,72}{\sqrt{1-0,518}}\right)=3,8\%,$$ et ${\omega }_0=\frac{1}{10^4\times 1,5\times 10^{-8}}=6,67\times 10^3\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $f_0=1,06\mathrm{kHz}$. Butterworth : $3-K=\sqrt{2}$, $K=3-\sqrt{2}=1,586$, $R_2=0,586R_1=5,86\mathrm{k\Omega }$ (en pratique $5,6$ ou $6,2\mathrm{k\Omega }$ dans la série normalisée : le réglage nominal en est voisin).

4) La panne : un oscillateur involontaire. $K=1+\frac{22}{10}=3,2$ : le coefficient $a_1=(3-K)\tau =-0,2\tau$ est négatif, les deux autres positifs : instable. Les pôles vérifient ${\tau }^2{p}^2-0,2\tau p+1=0$ : $$p={\omega }_0\left(0,10\pm j\sqrt{1-0,01}\right)={\omega }_0(0,10\pm 0,995j).$$ La sortie s'écrit $s(t)=s_0{\mathrm{e}}^{t/{\tau }_c}\cos (\omega t+\phi )$ avec une pulsation $\omega =0,995{\omega }_0$, soit $1056\mathrm{Hz}$, et une constante de croissance ${\tau }_c=\frac{1}{0,10{\omega }_0}=1,5\mathrm{ms}$. Un bruit de $1\mathrm{mV}$ atteint $13\mathrm{V}$ au bout de ${\tau }_c\ln (13000)=1,5\times 9,47=14\mathrm{ms}$ : à l'échelle humaine, instantanément. Le « filtre » sort une oscillation à $1\mathrm{kHz}$, écrêtée, alors que son entrée est nulle.

5) Le cas limite $K=3$. $R_2=20\mathrm{k\Omega }$ donne $K=3$, $a_1=0$ : pôles $\pm j{\omega }_0$, oscillation sinusoïdale entretenue à $f_0$, d'amplitude fixée par les conditions initiales. Mais $a_1=(3-K)\tau$ change de signe au moindre écart : une résistance à $1\%$ près fait varier $K$ de $\pm 0,02$ ; l'oscillation s'éteint ou diverge. Un oscillateur réel se règle légèrement au-dessus de $K=3$ et compte sur une non-linéarité pour borner l'amplitude : c'est l'objet du chapitre sur les oscillateurs.

6) Interprétation et résultat. Seul $a_1=(3-K)\tau$ dépend de $K$ : c'est le terme d'amortissement. Le « $3$ » traduit la dissipation dans les résistances ; le « $-K$ », l'énergie que l'amplificateur réinjecte par le condensateur relié à la sortie. Tant que la dissipation l'emporte ($K<3$), le régime libre s'amortit ; quand l'amplificateur fournit plus que ce qui est dissipé ($K>3$), il croît. Une fois la saturation atteinte, la relation $s=K{v}_B$ cesse d'être vraie : le système n'est plus linéaire, l'équation différentielle et son critère ne s'appliquent plus ; l'amplitude reste bornée à $\pm 13\mathrm{V}$.

Résultat établi : le critère de stabilité d'un système d'ordre 2 par les signes des coefficients — le régime libre de $a_2\ddot{s}+a_1\dot{s}+a_{0}s=0$ tend vers zéro si et seulement si $a_0$, $a_1$, $a_2$ sont non nuls et de même signe ; un coefficient nul donne un système marginalement stable, un changement de signe un système instable. Appliqué au filtre de Sallen-Key, il se réduit à $K<3$.

Ce que le problème installe. Le critère des coefficients n'est pas une recette : il vient de la somme et du produit des racines. Sur un circuit réel, il désigne le coefficient qui peut changer de signe et lui donne un sens physique (dissipation contre apport d'énergie). Une instabilité se chiffre : pôles, fréquence, constante de croissance, durée jusqu'à la saturation.