électronique (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Régulation de vitesse : un double pôle ne se déstabilise pas, mais il dépasse

Stabilité des systèmes linéaires · C. Système bouclé · niveau 3 (difficile)

Énoncé

La vitesse $Ω$ d'un moteur de convoyeur est régulée. Le moteur, de constante de temps mécanique $τ_{1} = 0, 50 s$ , est alimenté par un variateur dont la commande est filtrée avec une constante de temps $τ_{2} = 0, 050 s$ ; un correcteur proportionnel de gain $K > 0$ amplifie l'écart entre la consigne $Ω_{c}$ et la mesure, supposée parfaite (retour unitaire). Toutes les grandeurs sont exprimées dans la même unité.

1) Établir la fonction de transfert en boucle fermée $\frac{Ω}{Ω _{c}}$ et son dénominateur. Montrer que le système bouclé est stable quel que soit $K > 0$ .

2) Exprimer $ω_{0}$ et $ξ$ en fonction de $K$ , $τ_{1}$ , $τ_{2}$ . Pour quelles valeurs de $K$ la réponse à un échelon de consigne est-elle sans dépassement ?

3) Le cahier des charges exige un dépassement d'au plus $5 %$ . Quelle est la valeur maximale de $K$ ?

4) Il exige aussi une erreur statique (écart relatif permanent entre consigne et vitesse) d'au plus $5 %$ . Quelle valeur minimale de $K$ cela impose-t-il ? Conclure. Que vaut alors le dépassement ?

5) Montrer que la partie réelle des pôles ne dépend pas de $K$ dès qu'ils sont complexes. Qu'en déduire sur la durée du régime transitoire quand on augmente $K$ ?

Corrigé

La stratégie. Écrire $H_{BF} = \frac{H}{1 + H}$ avec $H$ produit de la chaîne directe ; lire la stabilité sur les signes du dénominateur ; traduire les deux exigences en deux inégalités sur $K$ .

1) Boucle fermée. La chaîne directe vaut $H (p) = \frac{K}{( 1 + τ _{1} p ) ( 1 + τ _{2} p )}$ ; avec un retour unitaire, $\frac{Ω}{Ω _{c}} = \frac{H}{1 + H} = \frac{K}{( 1 + τ _{1} p ) ( 1 + τ _{2} p ) + K} = \frac{K}{τ _{1} τ _{2} p ^{2} + ( τ _{1} + τ _{2} ) p + 1 + K} .$ Les coefficients $τ_{1} τ_{2}$ , $τ_{1} + τ_{2}$ et $1 + K$ sont strictement positifs pour tout $K > - 1$ , donc pour tout gain positif : le système bouclé est toujours stable. Le titre l'annonce : on ne déstabilise pas un système à deux pôles réels négatifs par un simple gain positif ; il faudrait au moins un troisième pôle (un retard, un capteur lent supplémentaire), ce qui dépasse l'ordre 2.

2) Pulsation propre et amortissement. En divisant par $1 + K$ : $\frac{Ω}{Ω _{c}} = \frac{\frac{K}{1 + K}}{1 + \frac{τ _{1} + τ _{2}}{1 + K} p + \frac{τ _{1} τ _{2}}{1 + K} p ^{2}}, ω_{0} = \frac{1 + K}{τ _{1} τ _{2}}, ξ = \frac{τ _{1} + τ _{2}}{2 ( 1 + K ) τ _{1} τ _{2}} .$ Numériquement, $τ_{1} τ_{2} = 0, 025 s^{2}$ et $τ_{1} + τ_{2} = 0, 55 s$ : $ξ = \frac{1 , 74}{1 + K}$ . Pas de dépassement si $ξ ⩾ 1$ , soit $1 + K ⩽ \frac{( τ _{1} + τ _{2} ) ^{2}}{4 τ _{1} τ _{2}} = 3, 03$ : $K ⩽ 2, 03$ .

3) Exigence de dépassement. $D ⩽ 5 %$ demande $ξ ⩾ 0, 690$ : $1 + K ⩽ \frac{( τ _{1} + τ _{2} ) ^{2}}{4 \times 0 , 69 0 ^{2} τ _{1} τ _{2}} = 6, 35 ⟹ K ⩽ 5, 35.$

4) Exigence de précision, et le conflit. Le gain statique en boucle fermée vaut $\frac{K}{1 + K}$ : l'erreur statique relative est $ε = 1 - \frac{K}{1 + K} = \frac{1}{1 + K}$ . $ε ⩽ 5 %$ exige $1 + K ⩾ 20$ , $K ⩾ 19$ . Les deux exigences sont incompatibles : $K ⩽ 5, 35$ et $K ⩾ 19$ . À $K = 19$ , $ξ = \frac{1 , 74}{20} = 0, 389$ et $D = exp (- \frac{π \times 0 , 389}{1 - 0 , 151}) = 26 %$ ; à $K = 5, 35$ , l'erreur statique vaut $15, 7 %$ . Un correcteur proportionnel ne suffit pas : il faut un correcteur plus élaboré (avec une action intégrale), ce que l'on étudie en sciences industrielles.

5) Les pôles complexes ont une partie réelle fixe. Pour $K > 2, 03$ , les pôles valent $- ξ ω_{0} \pm j ω_{0} 1 - ξ^{2}$ avec $ξ ω_{0} = \frac{τ _{1} + τ _{2}}{2 τ _{1} τ _{2}} = 11 s^{- 1},$ indépendant de $K$ (c'est aussi $- \frac{1}{2}$ de la somme des pôles, $- \frac{a _{1}}{a _{2}}$ , qui ne contient pas $K$ ). Augmenter $K$ augmente la pseudo-pulsation (de $11, 5$ à $26 rad s^{- 1}$ entre $K = 5, 35$ et $K = 19$ ) mais pas la vitesse d'amortissement de l'enveloppe, toujours en $e^{- 11 t}$ : le système oscille plus vite, plus fort, sans se calmer plus tôt.

Ce que l'exercice installe. Le bouclage déplace les pôles : ici il les rend complexes sans jamais les faire passer à droite. Les deux exigences classiques, précision (gain élevé) et amortissement (gain modéré), se traduisent en deux inégalités sur $K$ dont l'intersection peut être vide : c'est le dilemme stabilité-précision.

Exercices semblables

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre