Six dénominateurs, un seul critère

La stratégie. Le critère : à l'ordre 1 ou 2, stable si et seulement si tous les coefficients $a_0$, $a_1$, ($a_2$) sont non nuls et de même signe. Un coefficient nul signale un pôle nul ou deux pôles imaginaires purs ; des signes mêlés, au moins un pôle à partie réelle positive.

1) Lecture des signes.

• (a) $a_0=3$, $a_1=1$ : même signe, stable.
• (b) $a_2=1$, $a_1=-2$, $a_0=5$ : signes mêlés, instable.
• (c) $a_1=0$ : coefficient manquant, marginalement stable (le terme d'amortissement est absent).
• (d) $-2$, $-3$, $-1$ : tous négatifs, donc tous de même signe : stable (on multiplie par $-1$ sans changer les pôles).
• (e) $2$, $5$, $-3$ : signes mêlés, instable.
• (f) $a_0=0$ : coefficient manquant, marginalement stable.

2) Vérification par les pôles.

• (a) $p=-3$.
• (b) $p^2-2p+5=0$, discriminant réduit $1-5=-4$ : $p=1\pm 2j$. Régime libre $s(t)=A{\mathrm{e}}^t\cos (2t+\phi )$ : une oscillation dont l'amplitude croît comme ${\mathrm{e}}^t$.
• (c) $p=\pm 2j$ : régime libre $A\cos (2t+\phi )$, oscillation entretenue, ni amortie ni amplifiée.
• (d) $2p^2+3p+1=(2p+1)(p+1)$ : $p=-\frac{1}{2}$ et $p=-1$, réels négatifs.
• (e) $\Delta =25+24=49$, $p=\frac{-5\pm 7}{4}$ : $p=\frac{1}{2}$ et $p=-3$. Régime libre $A{\mathrm{e}}^{t/2}+B{\mathrm{e}}^{-3t}$ : divergence monotone, sans oscillation ; un seul pôle positif suffit.
• (f) $p(p+3)=0$ : $p=0$ et $p=-3$.

Les pôles placés dans le plan complexe confirment la lecture : stables à gauche de l'axe imaginaire, instables à droite, marginaux dessus.

(Échelle : une graduation pour deux unités sur l'axe imaginaire ; les pôles $\pm 2j$ de (b) et (c) sont dessinés à $\pm 1$.)

3) Le cas du pôle nul. Pour $e=E$ constant, $\ddot{s}+3\dot{s}=E$. En posant $v=\dot{s}$ : $\dot{v}+3v=E$, donc $v\to E/3$ et $s(t)\simeq \frac{E}{3}t$ aux temps longs. La sortie croît sans limite à entrée bornée, alors que le régime libre, lui, reste borné (il tend vers une constante, pas vers zéro). C'est un intégrateur (pôle $p=0$) associé à un premier ordre : la sortie est l'intégrale d'une grandeur qui, elle, se stabilise. Exemple : la position angulaire d'un moteur commandé en tension.

Ce que l'exercice installe. Le critère des signes se lit en trois secondes ; il exige des coefficients strictement de même signe, et un coefficient nul n'est jamais anodin (oscillateur idéal, ou intégrateur). Un seul pôle à partie réelle positive suffit à rendre un système instable ; un signe global négatif ne change rien.