électronique (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Sonde de température d'un four de recuit : trois écritures d'un premier ordre

Stabilité des systèmes linéaires · A. Fonction de transfert et réponses temporelles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un four de recuit de pièces métalliques est surveillé par un thermocouple gainé. On modélise la sonde par un échange thermique entre la gaine et le gaz du four : la température lue $θ_{ℓ} (t)$ obéit à $τ \frac{d θ _{ℓ}}{d t} + θ_{ℓ} = θ (t)$ , où $θ (t)$ est la température vraie du gaz, avec $τ = 2, 0 s$ (donnée de l'énoncé).

1) Écrire la fonction de transfert opérationnelle $H (p) = θ_{ℓ} / θ$ , puis la fonction de transfert harmonique $H (j ω)$ ; donner le gain statique et la pulsation de coupure. Le système est-il stable ?

2) La sonde, à $20^{\circ} C$ , est plongée d'un coup dans le four à $300^{\circ} C$ . Exprimer $θ_{ℓ} (t)$ et calculer le temps de réponse à $5 %$ . Le cahier des charges exige que la lecture soit à moins de $5 %$ de l'écart final au bout de $5, 0 s$ : est-il tenu ? Quelle constante de temps maximale faudrait-il ?

3) En régime établi, la régulation du four fait osciller la température du gaz autour de sa consigne avec une amplitude de $3, 0^{\circ} C$ et une fréquence de $0, 10 Hz$ . Quelle amplitude la sonde lit-elle ? Avec quel retard ?

4) Pendant la montée en température, la consigne suit une rampe de $5 K mi n^{- 1}$ : $θ (t) = θ_{0} + a t$ . Montrer qu'en régime établi la sonde lit la température vraie avec un retard constant égal à $τ$ , et calculer l'écart de lecture. L'exigence « écart en rampe inférieur à $0, 5 K$ » est-elle tenue ? Laquelle des deux exigences dimensionne la sonde ?

Corrigé

La stratégie. Transposer l'équation différentielle en $H (p)$ par $\frac{d}{d t} \to p$ , puis en $H (j ω)$ par $p \to j ω$ ; résoudre l'équation pour l'échelon et pour la rampe ; lire le régime sinusoïdal sur le module et l'argument de $H (j ω)$ .

1) Les trois écritures. En remplaçant la dérivée par $p$ : $(1 + τ p) θ_{ℓ} = θ$ , donc $H (p) = \frac{1}{1 + τ p}, H (j ω) = \frac{1}{1 + j ω τ} .$ Le gain statique est $H (0) = 1$ : en régime permanent, la sonde lit la bonne température. La pulsation de coupure à $- 3 dB$ est $ω_{c} = 1/ τ = 0, 50 rad s^{- 1}$ , soit $f_{c} = \frac{1}{2 π τ} = 0, 080 Hz$ . Le dénominateur $1 + τ p$ a ses deux coefficients $a_{0} = 1$ et $a_{1} = τ$ strictement positifs : le système est stable, son unique pôle $p = - 1/ τ = - 0, 50 s^{- 1}$ est réel négatif. Physiquement, c'est un échange thermique : la gaine relaxe vers la température du gaz.

2) Échelon : la sonde est trop lente. Pour $θ = 300^{\circ} C$ constante et $θ_{ℓ} (0) = 20^{\circ} C$ , la solution est la somme du régime forcé $300^{\circ} C$ et d'un régime libre exponentiel : $θ_{ℓ} (t) = 300 - 280 e^{- t / τ} (^{\circ} C) .$ L'écart à la valeur finale vaut $280 e^{- t / τ}$ ; il passe sous $5 %$ de $280$ quand $e^{- t / τ} = 0, 05$ , soit $t_{5%} = τ ln 20 = 3, 0 τ = 6, 0 s .$ L'exigence « $5 %$ en $5, 0 s$ » n'est pas tenue. Il faudrait $τ ln 20 ⩽ 5, 0 s$ , soit $τ ⩽ \frac{5 , 0}{ln 20} = 1, 67 s$ : une gaine plus fine, ou un meilleur contact thermique.

3) Régime sinusoïdal : atténuation et retard. À $f = 0, 10 Hz$ , $ω τ = 2 π \times 0, 10 \times 2, 0 = 1, 26$ , donc $∣ H ∣ = \frac{1}{1 + ( ω τ ) ^{2}} = \frac{1}{1 + 1 , 58} = 0, 62, ar g H = - arctan (ω τ) = - 5 1^{\circ} .$ La sonde lit une oscillation d'amplitude $0, 62 \times 3, 0 = 1, 9^{\circ} C$ au lieu de $3, 0^{\circ} C$ , en retard de $\frac{51 , 5}{360} \times 10 s = 1, 4 s$ . C'est un passe-bas : la fréquence de l'oscillation est au-dessus de la coupure ( $0, 10 > 0, 080 Hz$ ), la sonde « lisse » la régulation et sous-estime ses fluctuations.

4) Rampe : un retard constant. On cherche une solution particulière affine $θ_{ℓ} = θ_{0} + a (t - t_{0})$ . En reportant : $τ a + θ_{0} + a t - a t_{0} = θ_{0} + a t$ , donc $t_{0} = τ$ . La solution générale ajoute un régime libre $A e^{- t / τ}$ , qui s'éteint en quelques $τ$ . En régime établi, $θ_{ℓ} (t) = θ (t - τ), θ - θ_{ℓ} = a τ .$ La sonde lit la température qu'avait le gaz $τ$ secondes plus tôt. Avec $a = 5 K mi n^{- 1} = 0, 0833 K s^{- 1}$ : écart $a τ = 0, 17 K$ , inférieur à $0, 5 K$ : l'exigence en rampe est tenue, et le serait jusqu'à $τ = 0, 5/ a = 6, 0 s$ . C'est donc l'exigence en échelon ( $τ ⩽ 1, 67 s$ ) qui dimensionne la sonde.

Cas limite et homogénéité. Si $τ \to 0$ , la sonde est parfaite : $H = 1$ , pas de retard, pas d'atténuation. L'écart en rampe $a τ$ est bien une température (des kelvins par seconde fois des secondes).

Ce que l'exercice installe. Passer d'une écriture à l'autre est un réflexe de lecture, pas un calcul : $\frac{d}{d t} \leftrightarrow p \leftrightarrow j ω$ . Un même premier ordre se juge sur trois signaux test — échelon ( $t_{5%} = 3 τ$ ), sinusoïde (atténuation et déphasage), rampe (retard $τ$ ) — et ce sont des exigences différentes : il faut dire laquelle dimensionne.

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