Aucun rationnel positif n'est le plus petit

Pas de plus petit rationnel strictement positif. Supposons qu'il en existe un, noté $r$ : $r\in \mathbb{Q}$, $r>0$, et $r\le s$ pour tout rationnel $s>0$. Considérons $s=\frac{r}{2}$. C'est un rationnel (quotient d'un rationnel par l'entier non nul $2$), il est strictement positif, donc il devrait vérifier $r\le \frac{r}{2}$, c'est-à-dire $\frac{r}{2}\le 0$, donc $r\le 0$ : contradiction avec $r>0$. Il n'existe donc pas de tel $r$.

Entre deux rationnels. Soient $p<q$ deux rationnels et $m=\frac{p+q}{2}$. C'est un rationnel comme somme de rationnels divisée par $2$. De $p<q$ on tire $2p<p+q<2q$, donc $p<m<q$ après division par $2>0$, qui conserve les inégalités.

Une infinité. L'intervalle $]a,b[$ est non vide : il contient $\frac{a+b}{2}$ par le point précédent. Supposons par l'absurde qu'il ne contienne qu'un nombre fini de rationnels ; cet ensemble fini non vide a un plus petit élément $m_0$. Or $a<m_0$, donc $\frac{a+m_0}{2}$ est un rationnel strictement compris entre $a$ et $m_0$, donc encore dans $]a,b[$, et strictement plus petit que $m_0$ : c'est contraire au choix de $m_0$. L'intervalle contient donc une infinité de rationnels.

Le point commun aux trois questions est le même geste : dès qu'on suppose un « plus petit », la moyenne fabrique un candidat plus petit encore.