Distribuer, puis passer au complémentaire

Inclusion directe. Soit $x\in A\cap (B\cup C)$ : on a $x\in A$, et $x\in B$ ou $x\in C$. Disjonction des cas : si $x\in B$ alors $x\in A\cap B$ ; si $x\in C$ alors $x\in A\cap C$. Dans les deux cas $x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$.

Inclusion réciproque. Soit $x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$. Dans l'un comme dans l'autre cas $x\in A$, et $x$ appartient à $B$ ou à $C$, donc à $B\cup C$. D'où l'égalité.

La formule duale. Appliquons l'égalité démontrée aux parties $\overline{A}$, $\overline{B}$, $\overline{C}$ : $\overline{A}\cap (\overline{B}\cup \overline{C})=(\overline{A}\cap \overline{B})\cup (\overline{A}\cap \overline{C})$. Par De Morgan, $\overline{B}\cup \overline{C}=\overline{B\cap C}$, $\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A\cup B}$ et de même pour $C$ : $$\overline{A\cup (B\cap C)}=\overline{(A\cup B)\cap (A\cup C)}.$$ Deux parties de $E$ ayant le même complémentaire sont égales, d'où $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.

Le point à retenir. « Et » distribue sur « ou », et la négation échange les deux : les deux distributivités sont une seule formule, lue dans les deux sens.