Divisibilité par récurrence

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Récurrence, sommes et produits · niveau 2

Énoncé

Montrer que pour tout $n \in N$ , $7^{n} - 1$ est divisible par $6$ .

Initialisation. $7^{0} - 1 = 0 = 6 \times 0$ .

Hérédité. Supposons $6 ∣ 7^{n} - 1$ , disons $7^{n} - 1 = 6 q$ . Alors

$7^{n + 1} - 1 = 7 \cdot 7^{n} - 1 = 7 (7^{n} - 1) + 6 = 42 q + 6 = 6 (7 q + 1),$

divisible par $6$ .

Conclusion. La propriété vaut pour tout $n \in N$ .

Le même résultat se lit sans récurrence : $7^{n} - 1 = (7 - 1) (7^{n - 1} + \dots + 7 + 1)$ pour $n \geq 1$ , et le premier facteur vaut $6$ .