Divisible par 6, de deux façons

Première méthode. Montrons séparément la divisibilité par $2$ et par $3$.

Par $2$ : parmi $n$ et $n+1$, deux entiers consécutifs, l'un est pair. Le produit $n(n+1)(n+2)$ contient donc un facteur pair : il est pair.

Par $3$ : disjonction des cas sur le reste de $n$ modulo $3$. Si $n=3q$, le premier facteur est multiple de $3$. Si $n=3q+1$, alors $n+2=3q+3=3(q+1)$. Si $n=3q+2$, alors $n+1=3(q+1)$. Les trois cas sont exhaustifs, donc le produit est toujours multiple de $3$.

Conclusion : écrivons $n(n+1)(n+2)=3k$. Ce nombre est pair, donc $3k$ est pair ; comme $3$ est impair, c'est $k$ qui est pair, disons $k=2k^{\prime }$. Alors $n(n+1)(n+2)=6k^{\prime }$. Le point délicat est là : « multiple de $2$ et de $3$ » ne donne « multiple de $6$ » que parce que $2$ et $3$ n'ont aucun facteur commun.

Seconde méthode (récurrence). Soit $P(n)$ : « $6$ divise $n(n+1)(n+2)$ ».

Initialisation : $P(0)$ est vraie car $0=6\times 0$.

Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un $n\in \mathbb{N}$ fixé. Alors $$(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2).$$ Le premier terme est multiple de $6$ par hypothèse de récurrence. Dans le second, $(n+1)(n+2)$ est un produit de deux entiers consécutifs, donc pair : $3(n+1)(n+2)$ est multiple de $6$. Une somme de deux multiples de $6$ est multiple de $6$, donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.