Inclusion, réunion, intersection

$A\subset B\Rightarrow A\cup B=B$. L'inclusion $B\subset A\cup B$ est toujours vraie. Réciproquement, soit $x\in A\cup B$ : ou bien $x\in B$, ou bien $x\in A\subset B$ — dans les deux cas $x\in B$. D'où l'égalité.

$A\cup B=B\Rightarrow A\subset B$. On a toujours $A\subset A\cup B$, qui vaut $B$ par hypothèse.

$A\subset B\Rightarrow A\cap B=A$. L'inclusion $A\cap B\subset A$ est toujours vraie. Et si $x\in A$, alors $x\in B$ par hypothèse, donc $x\in A\cap B$.

$A\cap B=A\Rightarrow A\subset B$. On a $A=A\cap B\subset B$.

Les trois énoncés sont donc équivalents. La méthode est toujours la même : pour une égalité d'ensembles, on démontre les deux inclusions, en partant d'un élément quelconque.