Injectivité d'une composée

Le sens direct. Soient $x,x^{\prime }\in E$ tels que $f(x)=f(x^{\prime })$. En appliquant $g$ : $g(f(x))=g(f(x^{\prime }))$, c'est-à-dire $(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x^{\prime })$. L'injectivité de $g\circ f$ donne $x=x^{\prime }$. Donc $f$ est injective.

La réciproque est fausse. Prenons $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\mapsto x$ (injective) et $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\mapsto x^2$. Alors $g\circ f:x\mapsto x^2$ n'est pas injective, puisque $1$ et $-1$ ont la même image.

On notera au passage que $g\circ f$ injective n'entraîne pas que $g$ le soit : seule la première application appliquée hérite de la propriété. Symétriquement, si $g\circ f$ est surjective, c'est $g$ qui l'est.