L'inégalité de Bernoulli

Le réel $x\ge -1$ est fixé une fois pour toutes ; la récurrence porte sur le seul entier $n$.

Initialisation. Pour $n=0$ : $(1+x{)}^0=1$ et $1+0\times x=1$.

Hérédité. Supposons $(1+x{)}^n\ge 1+nx$ pour un $n$ fixé. Le nombre $1+x$ est positif ou nul — c'est exactement l'hypothèse $x\ge -1$ — donc multiplier l'inégalité par $1+x$ en conserve le sens : $$(1+x{)}^{n+1}\ge (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+n{x}^2\ge 1+(n+1)x,$$ la dernière inégalité venant de $n{x}^2\ge 0$.

Conclusion. L'inégalité vaut pour tout $n\in \mathbb{N}$.

L'hypothèse n'est pas décorative. Pour $x=-4$ et $n=3$ : $(1+x{)}^n=-27$ tandis que $1+nx=-11$, et $-27\ge -11$ est faux.

Le point à retenir. Une récurrence porte sur un entier ; tout le reste — ici $x$ — se fixe avant l'initialisation, sans quoi l'hérédité ne veut rien dire.