L'ordre des quantificateurs

Le premier est vrai. Soit $x\in \mathbb{R}$ ; l'entier $n=\lfloor x\rfloor +1$ convient, car $n>x$. Ici $n$ dépend de $x$, et c'est permis : le $\exists$ est écrit après le $\forall$.

Le second est faux. Il affirmerait l'existence d'un entier $n$ plus grand que tous les réels à la fois. Il suffit de prendre $x=n$ : on n'a pas $n>n$. Un même $n$ ne peut pas convenir pour tout $x$.

Les deux énoncés emploient les mêmes symboles et disent des choses opposées : seul l'ordre change. Le premier est la propriété d'Archimède.