La différence symétrique

Tout repose sur la traduction logique : pour $x\in E$, $$x\in A\Delta B⟺(x\in A\text{ ou }x\in B)\text{ et non}(x\in A\text{ et }x\in B).$$ Autrement dit : $x$ appartient à exactement un des deux ensembles.

Première égalité. Si $x\in A\Delta B$, alors $x$ est dans $A$ ou dans $B$, et pas dans les deux. Dans le premier cas $x\in A$ et $x\notin B$, donc $x\in A\setminus B$ ; dans le second $x\in B\setminus A$. Réciproquement, si $x\in A\setminus B$, alors $x\in A\cup B$ et $x\notin A\cap B$, donc $x\in A\Delta B$ ; de même pour $B\setminus A$. Par double inclusion, les deux ensembles sont égaux.

Deuxième point. Supposons $A\Delta B=\varnothing$ et soit $x\in A$. Si $x\notin B$, alors $x$ appartiendrait à exactement un des deux ensembles, donc à $A\Delta B$ : impossible. Donc $x\in B$, d'où $A\subset B$ ; par symétrie, $B\subset A$, et $A=B$. Réciproquement, si $A=B$ alors $A\cup B=A\cap B=A$, et la différence est vide.

Troisième point. Pour $x\in E$, dire $x\in \overline{A}$ c'est dire $x\notin A$. Donc « $x$ appartient à exactement un de $\overline{A}$, $\overline{B}$ » équivaut à « $x$ n'appartient qu'à un seul de $A$, $B$ » : nier les deux conditions à la fois échange les deux cas possibles sans en créer ni en supprimer. Les deux ensembles ont donc les mêmes éléments.