La somme des impairs

Le calcul. La somme est linéaire : on la coupe en deux et l'on sort les constantes, $$\sum _{k=1}^n(2k-1)=2\sum _{k=1}^{n}k-\sum _{k=1}^{n}1.$$ La seconde somme compte $n$ termes égaux à $1$, donc vaut $n$. La première est donnée par la formule du cours, ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$. D'où $$\sum _{k=1}^n(2k-1)=2\times \frac{n(n+1)}{2}-n=n(n+1)-n=n^2.$$

Application. Pour $n=10$ : la somme $1+3+5+\cdots +19$ vaut $100$. On peut le vérifier à la main en regroupant les termes deux à deux depuis les extrémités : $1+19=3+17=\cdots =20$, et il y a cinq paires, soit $100$.

Une lecture. La somme des $n$ premiers entiers impairs vaut $n^2$ : ajouter l'impair suivant à un carré donne le carré suivant, puisque $n^2+(2n+1)=(n+1{)}^2$. C'est cette identité que la récurrence utiliserait si l'on choisissait cette seconde voie.