Le carré : ni l'un, ni l'autre

Non injective. $f(-2)=4=f(2)$ alors que $-2\ne 2$ : deux réels distincts ont la même image. Un seul contre-exemple suffit.

Non surjective. Le réel $-1$ n'a pas d'antécédent : $f(x)=-1$ demanderait $x^2=-1$, impossible puisqu'un carré de réel est positif ou nul. Plus généralement, aucun réel strictement négatif n'est atteint.

Une bijection. Les deux défauts se corrigent séparément.

• L'ensemble d'arrivée doit être réduit à l'ensemble des valeurs effectivement prises, c'est-à-dire $[0,+\infty [$ : tout $y\ge 0$ est atteint, car $y={\left(\sqrt{y}\right)}^2$.
• L'ensemble de départ doit être réduit pour supprimer les couples $x$, $-x$ : on garde $[0,+\infty [$.

L'application $$g:[0,+\infty [\to [0,+\infty [,g(x)=x^2$$ est alors bijective. Elle est injective car $x^2=x^{\prime 2}$ avec $x,x^{\prime }\ge 0$ entraîne $x=x^{\prime }$ (deux positifs de même carré sont égaux) ; elle est surjective par le calcul ci-dessus. Sa réciproque est $y\mapsto \sqrt{y}$.

On aurait tout aussi bien pu garder $]-\infty ,0]$ au départ, la réciproque étant alors $y\mapsto -\sqrt{y}$ : le choix de la restriction n'est pas unique.