Le produit cartésien distribue-t-il ?

La distributivité. Un élément de ces ensembles est un couple $(x,y)$. $$(x,y)\in A\times (B\cap C)⟺x\in A\text{ et }y\in B\cap C⟺x\in A\text{ et }y\in B\text{ et }y\in C.$$ D'autre part $$(x,y)\in (A\times B)\cap (A\times C)⟺(x\in A\text{ et }y\in B)\text{ et }(x\in A\text{ et }y\in C),$$ ce qui est la même chose : le « et » est associatif et le doublon $x\in A$ ne change rien. Les deux ensembles ont les mêmes éléments, ils sont égaux.

Le cardinal. Un couple de $A\times B$ se construit en choisissant sa première coordonnée ($p$ possibilités), puis sa seconde ($q$ possibilités, indépendamment du premier choix). Deux choix distincts donnent deux couples distincts, et tout couple s'obtient ainsi : $\mathrm{card}(A\times B)=pq$.

La dernière égalité est fausse. Prenons $A=B=\{1\}$ et $C=D=\{2\}$. À gauche : $(A\times B)\cup (C\times D)=\{(1,1)\}\cup \{(2,2)\}=\{(1,1),(2,2)\}$, qui a $2$ éléments. À droite : $(A\cup C)\times (B\cup D)=\{1,2\}\times \{1,2\}$, qui en a $4$ — il contient en particulier $(1,2)$, absent du membre de gauche. Un contre-exemple suffit à infirmer un énoncé universel.

Seule l'inclusion $(A\times B)\cup (C\times D)\subset (A\cup C)\times (B\cup D)$ est vraie, et elle se lit sur les coordonnées.