mathématiques appliquées (ECG 1re année) · Chapitre 1 · Exercice d'entraînement

Les parties d'une intersection, d'une réunion

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Ensembles, parties et produit cartésien · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$ . Montrer que $P (A) \cap P (B) = P (A \cap B)$ . Montrer ensuite que $P (A) \cup P (B) \subset P (A \cup B)$ , et donner un exemple où cette inclusion est stricte.

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Élève

Pour montrer $P (A) \cap P (B) = P (A \cap B)$ , je prends un élément $x$ de $P (A) \cap P (B)$ et j'essaie de montrer que $x \in A \cap B$ , mais je tourne en rond.

Regarde de quoi sont faits ces ensembles : un élément de $P (A)$ est-il un élément de $A$ , ou autre chose ? Que signifie exactement $X \in P (A)$ ?

Élève

Un élément de $P (A)$ est une partie de $A$ : $X \in P (A)$ veut dire $X \subset A$ . Je dois donc partir d'une partie $X$ de $E$ , pas d'un élément.

Oui. Traduis $X \in P (A) \cap P (B)$ en deux inclusions : à quelle inclusion unique cela équivaut-il ? Et pour la réunion, l'équivalence tient-elle encore dans les deux sens ?

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