Les parties d'une intersection, d'une réunion

Première égalité. Pour toute partie $X$ de $E$ : $$X\in \mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)⟺X\subset A\text{ et }X\subset B.$$ Or « $X\subset A$ et $X\subset B$ » équivaut à « tout élément de $X$ est dans $A$ et dans $B$ », c'est-à-dire à $X\subset A\cap B$, soit $X\in \mathcal{P}(A\cap B)$. Les deux ensembles ont les mêmes éléments : ils sont égaux.

L'inclusion. Si $X\in \mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)$, alors $X\subset A$ ou $X\subset B$. Dans les deux cas $X\subset A\cup B$, car $A\subset A\cup B$ et $B\subset A\cup B$. Donc $X\in \mathcal{P}(A\cup B)$.

Elle est stricte en général. Prenons $E=\{1,2\}$, $A=\{1\}$, $B=\{2\}$, et $X=\{1,2\}$. Alors $X\subset A\cup B=E$, donc $X\in \mathcal{P}(A\cup B)$. Mais $X\not\subset A$ (car $2\notin A$) et $X\not\subset B$ (car $1\notin B$) : $X\notin \mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)$. L'inclusion est donc stricte.

Pourquoi les deux cas diffèrent. L'intersection commute avec le passage aux parties parce que « être inclus dans » est une condition universelle (tout élément…), qui se conjugue bien avec un « et ». La réunion, elle, offre à chaque élément de $X$ le choix de son camp — et rien n'oblige tous les éléments à choisir le même.