Lister les parties d'un ensemble à trois éléments

La liste. On range les parties par cardinal :

• cardinal $0$ : $\varnothing$ ;
• cardinal $1$ : $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$ ;
• cardinal $2$ : $\{a,b\}$, $\{a,c\}$, $\{b,c\}$ ;
• cardinal $3$ : $\{a,b,c\}=E$.

Cela fait $1+3+3+1=8$ parties. Ne pas oublier les deux extrêmes, $\varnothing$ et $E$ lui-même, qui sont bien des parties de $E$.

Le compte général. Construire une partie, c'est décider pour chaque élément s'il y entre ou non : deux choix par élément, indépendants. Pour $3$ éléments, $2^3=8$ ; pour $5$ éléments, $2^5=32$.

La dernière question : non. $a$ est un élément de $E$, pas une partie de $E$ : on écrit $a\in E$ et $\{a\}\subset E$, c'est-à-dire $\{a\}\in \mathcal{P}(E)$. Les éléments de $\mathcal{P}(E)$ sont des ensembles, jamais des lettres. C'est la confusion la plus fréquente du chapitre, et elle se dissipe en regardant la liste ci-dessus : on n'y trouve pas $a$, mais $\{a\}$.