Lister les parties d'un ensemble à trois éléments

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Ensembles et parties · niveau 1 (application)

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Écrire toutes les parties de $E = {a, b, c}$ . Combien y en a-t-il ? Combien $P (E)$ aurait-il d'éléments si $E$ en avait $5$ ? Est-il vrai que $a \in P (E)$ ?

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La liste. On range les parties par cardinal :

cardinal $0$ : $\emptyset$ ;
cardinal $1$ : ${a}$ , ${b}$ , ${c}$ ;
cardinal $2$ : ${a, b}$ , ${a, c}$ , ${b, c}$ ;
cardinal $3$ : ${a, b, c} = E$ .

Cela fait $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ parties. Ne pas oublier les deux extrêmes, $\emptyset$ et $E$ lui-même, qui sont bien des parties de $E$ .

Le compte général. Construire une partie, c'est décider pour chaque élément s'il y entre ou non : deux choix par élément, indépendants. Pour $3$ éléments, $2^{3} = 8$ ; pour $5$ éléments, $2^{5} = 32$ .

La dernière question : non. $a$ est un élément de $E$ , pas une partie de $E$ : on écrit $a \in E$ et ${a} \subset E$ , c'est-à-dire ${a} \in P (E)$ . Les éléments de $P (E)$ sont des ensembles, jamais des lettres. C'est la confusion la plus fréquente du chapitre, et elle se dissipe en regardant la liste ci-dessus : on n'y trouve pas $a$ , mais ${a}$ .

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