${\log }_{10}2$ est irrationnel

Posons $\alpha ={\log }_{10}2$. Comme $1<2<10$, on a $0<\alpha <1$ ; en particulier $\alpha >0$.

Par l'absurde, supposons $\alpha =p/q$ avec $p,q$ entiers strictement positifs. Par définition du logarithme décimal, $10^{\alpha }=2$, donc $10^{p/q}=2$, puis, en élevant à la puissance $q$ :

$$10^p=2^q,\text{c’est-aˋ-dire}{2}^p{5}^p=2^q.$$

Le membre de gauche est divisible par $5$ (puisque $p\ge 1$), le membre de droite ne l'est pas — une puissance de $2$ n'a que $2$ comme facteur premier. C'est contradictoire avec l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

Conclusion : $\alpha$ n'est pas rationnel.

Le raisonnement par l'absurde est ici le bon outil : on ne sait pas « construire » l'irrationalité, on montre que le contraire est impossible.