Nécessaire, suffisante, ou les deux

Rappelons la convention : $P$ est suffisante pour $Q$ lorsque $P\Rightarrow Q$, et nécessaire lorsque $Q\Rightarrow P$.

Premier couple. Si $x\ge 2$, alors en multipliant cette inégalité entre nombres positifs par elle-même, $x^2\ge 4$ : la condition est suffisante. Elle n'est pas nécessaire : $x=-3$ vérifie $x^2=9\ge 4$ sans vérifier $x\ge 2$. Un contre-exemple suffit à abattre l'implication manquante.

Second couple. Comme $x^2=|x{|}^2$ et que $t\mapsto t^2$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$, l'inégalité $|x{|}^2\ge 2^2$ a lieu si et seulement si $|x|\ge 2$. Les deux implications sont donc acquises : la condition est nécessaire et suffisante.

Le point à retenir. « Suffisante » désigne la flèche qui part, « nécessaire » celle qui arrive. Une équivalence est la conjonction des deux, et c'est toujours le sens qui manque qu'un contre-exemple vient trancher.