Opérations sur des parties concrètes

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Ensembles et parties

Énoncé

Dans $E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , on pose $A = {1, 2, 3, 4}$ et $B = {3, 4, 5}$ . Déterminer $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A$ , $A ∖ B$ et $A \cap B$ . Vérifier sur cet exemple la loi de De Morgan $A \cap B = A \cup B$ .

Corrigé

Les calculs. $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ : on réunit les éléments, sans répétition. $A \cap B = {3, 4}$ : les éléments communs. $A = E ∖ A = {5, 6}$ . $A ∖ B = {1, 2}$ : les éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$ . $A \cap B = E ∖ {3, 4} = {1, 2, 5, 6}$ .

La loi de De Morgan. On a $A = {5, 6}$ et $B = {1, 2, 6}$ , donc $A \cup B = {1, 2, 5, 6},$ qui coïncide bien avec $A \cap B$ calculé ci-dessus.

Pourquoi c'est vrai en général. « $x$ n'est pas à la fois dans $A$ et dans $B$ » signifie « $x$ manque à $A$ , ou $x$ manque à $B$ » : nier un « et » produit un « ou ». Les opérations ensemblistes ne sont que les connecteurs logiques lus sur les éléments.

Attention à un piège classique : $A ∖ B$ n'est pas $B \cap E$ mais $A \cap B$ — ici ${1, 2, 3, 4} \cap {1, 2, 6} = {1, 2}$ , ce qui confirme le calcul.

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