Quantifier, puis nier

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Logique et quantificateurs

Énoncé

Écrire avec des quantificateurs, puis nier : « la suite $(u_{n})$ est majorée », « $f$ s'annule au moins une fois sur $[0, 1]$ », « tous les éléments de $A$ sont positifs ».

Corrigé

Majorée : $\exists M \in R, \forall n \in N, u_{n} \leq M$ . Négation : $\forall M \in R, \exists n \in N, u_{n} > M$ — aucun réel ne majore, autrement dit on dépasse toute barre fixée d'avance.

S'annule : $\exists x \in [0, 1], f (x) = 0$ . Négation : $\forall x \in [0, 1], f (x) \neq = 0$ .

Tous positifs : $\forall x \in A, x \geq 0$ . Négation : $\exists x \in A, x < 0$ .

La règle est mécanique : on échange $\forall$ et $\exists$ , et on nie la propriété finale. C'est là que l'ordre des quantificateurs se paie — dans la première, $M$ ne dépend pas de $n$ , et la négation le rappelle en faisant dépendre $n$ de $M$ .

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