Réciproque et contraposée

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · Logique et quantificateurs

Énoncé

Donner la réciproque et la contraposée de : « si $n$ est divisible par $4$ , alors $n$ est pair ». Laquelle est vraie ?

Corrigé

L'implication de départ est vraie : si $n = 4 k$ alors $n = 2 (2 k)$ .

Réciproque : « si $n$ est pair, alors $n$ est divisible par $4$ ». Elle est fausse : $n = 2$ est pair sans être divisible par $4$ . Un seul contre-exemple suffit à abattre un « pour tout ».

Contraposée : « si $n$ n'est pas pair, alors $n$ n'est pas divisible par $4$ ». Elle est vraie, et ce n'est pas une chance : une implication et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité. C'est la réciproque qui est une proposition différente — l'erreur la plus fréquente de l'année est de les confondre.

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