Somme des cubes

Initialisation. Pour $n=1$ : la somme vaut $1$, et ${\left(\frac{1\times 2}{2}\right)}^2=1$. Acquise.

Hérédité. Supposons la formule vraie pour un $n\ge 1$ fixé. Alors

$$\sum _{k=1}^{n+1}{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2+(n+1{)}^3=(n+1{)}^2\left(\frac{n^2}{4}+n+1\right)=(n+1{)}^2\cdot \frac{n^2+4n+4}{4}={\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)}^2,$$

qui est bien la formule au rang $n+1$.

Conclusion. Par le principe de récurrence, la formule vaut pour tout $n\ge 1$. On remarquera que le membre de droite est ${\left({\sum }_{k=1}^{n}k\right)}^2$ : la somme des cubes est le carré de la somme.