Surjectivité d'une composée

Le sens direct. Soit $z\in G$. Comme $g\circ f$ est surjective, il existe $x\in E$ tel que $g(f(x))=z$. Posons $y=f(x)$ : c'est un élément de $F$, et $g(y)=z$. Tout élément de $G$ a donc un antécédent par $g$ : $g$ est surjective.

Ce qu'on n'obtient pas. L'antécédent construit vit dans l'ensemble des images de $f$ ; le raisonnement ne dit rien de plus sur $f$.

L'exemple. Prenons $E=G=\mathbb{R}$, $F={\mathbb{R}}^2$, puis $$f:x⟼(x,0),g:(x,y)⟼x.$$ Alors $(g\circ f)(x)=x$ : la composée est l'identité de $\mathbb{R}$, donc bijective. Pourtant $f$ n'est pas surjective — le couple $(0,1)$ n'a pas d'antécédent — et $g$ n'est pas injective, puisque $g(0,0)=g(0,1)=0$.

Le point à retenir. Dans une composée, l'information remonte au premier facteur pour l'injectivité et au dernier pour la surjectivité, jamais dans l'autre sens.