Un énoncé qu'aucune fonction ne vérifie

$Q$ est fausse quelle que soit $f$. Raisonnons par l'absurde : supposons $Q$ vraie et soit $y_0$ un réel tel que $f(y_0)>f(x)$ pour tout $x$. Cette propriété est annoncée pour tout $x$ : rien n'interdit de la spécialiser en $x=y_0$, ce qui donne $f(y_0)>f(y_0)$, contradiction. Donc $Q$ est fausse, et cela sans rien savoir de $f$.

L'implication reste vraie. Une implication dont l'hypothèse est fausse est vraie : $Q\Rightarrow P$ est donc vraie ici, mais elle ne dit rien de $P$. C'est le point délicat — on ne conclut jamais « $P$ est fausse » de « $Q$ est fausse ». On peut d'ailleurs la démontrer directement : si $Q$ était vraie avec un témoin $y_0$, alors pour tout $x$ le même $y_0$ conviendrait dans $P$.

Une $f$ qui vérifie $P$ : $f=\mathrm{id}$, c'est-à-dire $f(x)=x$. Pour $x$ donné, le choix $y=x+1$ donne $f(y)=x+1>x=f(x)$. Noter que $y$ dépend de $x$ : c'est exactement ce que la place du $\exists$ autorise dans $P$ et interdit dans $Q$.

Une $f$ qui ne le vérifie pas : $f$ constante égale à $0$. Pour $x=0$, il faudrait $y$ avec $0>0$ : impossible.

Ce qui sépare $P$ de $Q$ n'est donc pas le vocabulaire mais l'ordre des quantificateurs : dans $P$, le témoin $y$ se choisit après $x$ ; dans $Q$, il doit servir pour tous les $x$ à la fois — y compris pour $x=y$.