Un irrationnel élevé à un irrationnel

Posons $t={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$. Ce nombre est réel strictement positif ; il est rationnel ou il ne l'est pas, et ces deux cas épuisent les possibilités.

Premier cas : $t$ est rationnel. Alors $a=b=\sqrt{2}$ conviennent : tous deux sont irrationnels, et $a^b=t$ est rationnel.

Second cas : $t$ est irrationnel. Posons $a=t$ et $b=\sqrt{2}$, tous deux irrationnels. En utilisant $(x^{\beta }{)}^{\gamma }=x^{\beta \gamma }$ pour $x>0$ : $$a^b={\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}={\sqrt{2}}^2=2,$$ qui est rationnel.

Dans les deux cas un couple convenable existe, donc l'énoncé est démontré.

Le point délicat. On ignore lequel des deux cas est le bon : la démonstration ne produit aucun couple explicite. La disjonction des cas n'exige pas de savoir quel cas est réalisé, seulement qu'ils recouvrent toutes les possibilités.

Le point à retenir. Démontrer une existence ne demande pas toujours d'exhiber un objet.