Un produit qui se replie

Les premières valeurs. $P_2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ ; $P_3=\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}=\frac{2}{3}$ ; $P_4=\frac{2}{3}\times \frac{15}{16}=\frac{5}{8}$. Écrivons-les avec le même dénominateur $2n$ : $\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$, $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, $\frac{5}{8}=\frac{5}{8}$. On conjecture $$P_n=\frac{n+1}{2n}.$$

Démonstration par télescopage. Pour $k\ge 2$, $$1-\frac{1}{k^2}=\frac{k^2-1}{k^2}=\frac{(k-1)(k+1)}{k\cdot k},$$ identité remarquable au numérateur. Le produit se coupe donc en deux : $$P_n=\left(\prod _{k=2}^n\frac{k-1}{k}\right)\left(\prod _{k=2}^n\frac{k+1}{k}\right).$$ Le premier produit vaut $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \cdots \times \frac{n-1}{n}$ : chaque numérateur simplifie le dénominateur du facteur précédent, il reste $\frac{1}{n}$. Le second vaut $\frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \cdots \times \frac{n+1}{n}$, et il reste $\frac{n+1}{2}$. D'où $$P_n=\frac{1}{n}\times \frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{2n}.$$

Contrôle par récurrence. $P_2=\frac{3}{4}$ et la formule donne $\frac{2+1}{4}=\frac{3}{4}$. Si $P_n=\frac{n+1}{2n}$ pour un $n\ge 2$ fixé, alors $$P_{n+1}=\frac{n+1}{2n}\times \frac{n(n+2)}{(n+1{)}^2}=\frac{n+2}{2(n+1)},$$ qui est la formule au rang $n+1$. La conjecture est démontrée.