Une application affine

Injectivité. Soient $x$ et $x^{\prime }$ deux réels tels que $f(x)=f(x^{\prime })$. Alors $3x-5=3x^{\prime }-5$, donc $3x=3x^{\prime }$ en ajoutant $5$, puis $x=x^{\prime }$ en divisant par $3\ne 0$. Deux antécédents d'une même image sont donc égaux : $f$ est injective.

Surjectivité. Soit $y\in \mathbb{R}$ ; cherchons $x$ tel que $f(x)=y$, c'est-à-dire $3x-5=y$. Cette équation d'inconnue $x$ se résout : $x=\frac{y+5}{3}$, qui est bien un réel. Tout réel a donc au moins un antécédent : $f$ est surjective.

La réciproque. $f$ étant injective et surjective, elle est bijective, et le calcul précédent donne directement $$f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3}.$$ Contrôle : $f\left(\frac{y+5}{3}\right)=3\times \frac{y+5}{3}-5=y$, et $f^{-1}(f(x))=\frac{3x-5+5}{3}=x$.

Ce qu'il faut retenir. Les deux démonstrations sont deux lectures de la même équation $3x-5=y$ : l'injectivité dit qu'elle a au plus une solution, la surjectivité qu'elle en a au moins une. Une application affine $x\mapsto ax+b$ est bijective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ exactement lorsque $a\ne 0$.