Une bijection de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{Z}$

Les premières valeurs. $f(0)=0$, $f(1)=-1$, $f(2)=1$, $f(3)=-2$, $f(4)=2$, $f(5)=-3$. L'application énumère $\mathbb{Z}$ en alternant positifs et négatifs. Elle est bien définie : tout entier naturel est pair ou impair, jamais les deux, et la formule donne dans chaque cas un entier relatif.

Image des pairs, image des impairs. Si $n=2k$ avec $k\in \mathbb{N}$, alors $f(n)=k\ge 0$ ; et tout entier $m\ge 0$ est atteint, par $n=2m$. Si $n=2k+1$ avec $k\in \mathbb{N}$, alors $f(n)=-(k+1)\le -1$ ; et tout entier $m\le -1$ est atteint, par $n=-2m-1$, qui est bien un entier naturel impair puisque $-m\ge 1$.

Surjectivité. Tout $m\in \mathbb{Z}$ vérifie $m\ge 0$ ou $m\le -1$ : d'après le point précédent, il a un antécédent dans les deux cas. Donc $f$ est surjective.

Injectivité. Soient $n\ne n^{\prime }$ avec $f(n)=f(n^{\prime })$. Les images des pairs sont $\ge 0$ et celles des impairs $\le -1$ : $n$ et $n^{\prime }$ ont donc la même parité. S'ils sont pairs, $\frac{n}{2}=\frac{n^{\prime }}{2}$ donne $n=n^{\prime }$ ; s'ils sont impairs, $-\frac{n+1}{2}=-\frac{n^{\prime }+1}{2}$ donne encore $n=n^{\prime }$. Contradiction : $f$ est injective.

La réciproque. $f$ est bijective, et $$f^{-1}(m)=2m\text{ si }m\ge 0,f^{-1}(m)=-2m-1\text{ si }m<0.$$ Le point délicat est la disjonction sur le signe : sans elle, les images des pairs et des impairs pourraient se recouvrir, et l'injectivité tomberait.