Une inégalité entre une somme et une racine

Notons $S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ et $P(n)$ : « $S_n\ge \sqrt{n}$ ».

Initialisation. $S_1=1$ et $\sqrt{1}=1$ : $P(1)$ est vraie (avec égalité).

Hérédité. Soit $n\ge 1$ fixé, supposons $P(n)$. Alors $$S_{n+1}=S_n+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}},$$ puisqu'on ajoute la même quantité aux deux membres de l'hypothèse. Il reste à établir $$\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge \sqrt{n+1}.$$ Multiplions par $\sqrt{n+1}>0$, ce qui conserve le sens de l'inégalité : il s'agit de montrer $\sqrt{n}\sqrt{n+1}+1\ge n+1$, c'est-à-dire $$\sqrt{n(n+1)}\ge n.$$ Or $n(n+1)\ge n^2$ car $n+1\ge n$ et $n\ge 0$ ; la fonction racine carrée étant croissante sur $[0,+\infty [$, on en déduit $\sqrt{n(n+1)}\ge \sqrt{n^2}=n$ (le passage à la racine est licite car $n\ge 0$). D'où $S_{n+1}\ge \sqrt{n+1}$, c'est-à-dire $P(n+1)$.

Conclusion. $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge 1$.

Le point délicat est le deuxième temps de l'hérédité : l'hypothèse de récurrence ne suffit pas à conclure, il faut encore démontrer une inégalité auxiliaire — et c'est elle, non la récurrence, qui contient la difficulté. On retiendra au passage que la somme dépasse $\sqrt{n}$, donc qu'elle n'est majorée par aucun réel.