Une négation, une contraposée

La négation. La règle est mécanique : on échange $\forall$ et $\exists$, et l'on nie la propriété finale. La négation de $\forall x\in \mathbb{R},f(x)\ne 0$ est donc $$\exists x\in \mathbb{R},f(x)=0,$$ c'est-à-dire « $f$ s'annule au moins une fois ». Ce n'est pas « $\forall x,f(x)=0$ » : nier « jamais nulle » ne donne pas « toujours nulle », mais « nulle au moins une fois ».

La contraposée. L'implication « si $P$ alors $Q$ » a pour contraposée « si non $Q$ alors non $P$ ». Ici : $$\text{si }{x}^2\le 4\text{ alors }x\le 2.$$

L'implication est vraie. Si $x>2$, alors $x>0$, et l'on peut multiplier membre à membre l'inégalité $x>2$ par elle-même : $x\times x>2\times 2$, soit $x^2>4$. Sa contraposée est donc vraie aussi — une implication et sa contraposée disent la même chose.

En revanche la réciproque, « si $x^2>4$ alors $x>2$ », est fausse : $x=-3$ donne $x^2=9>4$ et $x<2$.