Une récurrence pour commencer

Posons $P(n)$ : « $2^n\ge n+1$ ».

Initialisation. Pour $n=0$ : $2^0=1$ et $0+1=1$, donc $1\ge 1$ : $P(0)$ est vraie. L'initialisation n'est jamais facultative — c'est elle qui fait démarrer la chaîne.

Hérédité. Soit $n\in \mathbb{N}$ fixé, supposons $P(n)$ vraie, c'est-à-dire $2^n\ge n+1$. En multipliant par $2>0$, ce qui conserve le sens de l'inégalité : $$2^{n+1}=2\times 2^n\ge 2(n+1)=2n+2.$$ Or $2n+2\ge n+2$ puisque $n\ge 0$. Par transitivité, $2^{n+1}\ge n+2=(n+1)+1$, ce qui est exactement $P(n+1)$.

Conclusion. D'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.

On notera que l'hérédité a demandé deux minorations enchaînées : celle que fournit l'hypothèse de récurrence, puis celle qui utilise $n\ge 0$. C'est le schéma le plus courant.