Une somme qui se replie

La décomposition. Pour $k\ge 1$, $$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}.$$ On a réduit au même dénominateur ; l'égalité est donc une identité, valable pour tout $k\ge 1$ (aucun des deux dénominateurs ne s'annule).

Le télescopage. En sommant de $k=1$ à $n$ : $$S_n=\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}.$$ Dans la seconde somme, le changement d'indice $j=k+1$ donne ${\sum }_{j=2}^{n+1}\frac{1}{j}$. Les deux sommes ont donc en commun tous les termes d'indice $2$ à $n$, qui se simplifient. Il reste le premier terme de la première ($\frac{1}{1}$) et le dernier de la seconde ($\frac{1}{n+1}$), avec son signe : $$S_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$

Vérification par récurrence. Soit $P(n)$ : « $S_n=\frac{n}{n+1}$ ». $P(1)$ : $S_1=\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$. Hérédité : si $S_n=\frac{n}{n+1}$ pour un $n\ge 1$ fixé, alors $$S_{n+1}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1{)}^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2},$$ car $n^2+2n+1=(n+1{)}^2$. C'est bien la formule au rang $n+1$.

Les deux voies se complètent : le télescopage trouve le résultat, la récurrence le contrôle.